Zur Theorie der impliziten Funktionaloperationen. (Q573076)

Den Hauptgegenstand der vorliegenden Arbeit bildet die Untersuchung impliziter, nicht linearer Operationen in abstrakten Räumen. Als Vorbereitung für diese Untersuchungen werden zuerst einige Überlegungen allgemeinerer Art angestellt: {\S} 1 befaßt sich mit gewissen linearen Operationen. Zugrundegelegt sei ein \textit{Banach}scher (linearer, normierter und vollständiger) Raum (vgl. \textit{S. Banach}, 1922; F. d. M. 48, 201 (JFM 48.0201.*)-202), dessen Elemente mit \(X, X_0,\ldots\), ihre Normen mit \(||X||, ||X_0||,\ldots\) bezeichnet werden, und ein beliebiger metrischer Raum, dessen Elemente mit \(P,P_0,\ldots\) bezeichnet werden. \(F(P,X)\) sei eine Operation, die jedem \(P\) einer Umgebung eines bestimmten Elements \(P_0\) und jedem \(X\) ein Element eines (im allgemeinen vom \(X\)-Raum verschiedenen) \textit{Banach}schen Raumes zuordnet; \(F(P,X)\) sei in bezug auf \(X\) linear, d. h. additiv und stetig, und in bezug auf \(P\) für \(P_0\) stetig. Dann existieren für jedes \(P\) (eventuell von \(P\) abhängige) positive Zahlen \(m\), mit denen für alle \(X\) die Ungleichung \[ ||F(P,X)|| \leqq m ||X|| \] erfüllt ist. Die kleinste Zahl \(m\), die diese Eigenschaft hat, werde mit \(m_F(P)\) bezeichnet; sie heißt die Norm der Operation \(F(P,X)\) für die Stelle \(P\). Das Verhalten dieses Funktionals \(m_F(P)\) im Punkte \(P_0\) und seiner Umgebung bildet den Gegenstand der Untersuchung. Werden unterer bzw. oberer Limes von \(m_F(P)\) in \(P_0\) mit \(\underline{m}_F(P_0)\) bzw. \(\overline{m}_F(P_0)\) bezeichnet, so gilt: (1) Es ist \[ \underline{m}_F(P_0) = m_F(P_0), \] also \(m_F(P)\) in \(P_0\) nach unten stetig. (2) Es ist \(\overline{m}_F(P_0)\) endlich, doch braucht nicht \[ \overline{m}_F(P_0) = m_F(P_0) \] zu gelten. Ist jedoch jede beschränkte Folge des \(X\)-Raumes kompakt, so gilt auch \[ \overline{m}_F(P_0) = m_F(P_0); \] das Funktional \(m_F(P)\) ist also dann in \(P_0\) stetig. (3) Aus der Endlichkeit von \(\overline{m}_F(P_0)\) folgt noch, daß \(F(P,X)\) in bezug auf \(P\) und \(X\) (zusammengenommen) für \(P = P_0\) und jedes \(X\) stetig ist. In {\S} 2 wird eine Funktionaloperation \(F(P)\) betrachtet, die einem Element \(P\) eines \textit{Banach}schen Raumes ein Element eines ebensolchen Raumes zuordnet. Gibt es eine lineare Operation \(\varPsi(X)\) derart, daß \[ \frac{||F(P+X) - F(P) - \varPsi(X)||}{||X||} \] mit \(||X||\) gegen Null strebt, so heißt \(\varPsi(X)\) nach \textit{Fréchet} das Differential der Operation \(F(P)\) in \(P\). Es wird vorausgesetzt, daß \(F(P)\) in einer Umgebung einer Stelle \(P_0\) ein Differential besitzt, das dann von \(P\) und \(X\) abhängt und mit \(dF(P;X)\) bezeichnet wird. Wird weiter noch vorausgesetzt, daß \(dF(P;X)\) in \(P_0\) in bezug auf \(P\) stetig ist, so ist \(dF(P;X)\) eine Operation der in {\S} l behandelten Art, wobei jetzt die \(P\)- und \(X\)-Räume zusammenfallen. Es können also die Ergebnisse des {\S} 1 auf \(dF(P;X)\) angewendet werden. Hieraus folgert Verf. das Bestehen einer \textit{Lipschitz}-Bedingung für \(F(P)\) in einer Umgebung von \(P_0\); genau gilt: Besitzt \(F(P)\) ein Differential \(dF(P;X)\) in der Umgebung von \(P_0\), das für \(P_0\) in bezug auf \(P\) stetig ist, so gibt es eine Umgebung von \(P_0\) und eine Zahl \(m > 0\), für die die \textit{Lipschitz}sche Bedingung \[ ||F(P') - F(P)|| \leqq m ||P'-P|| \] erfüllt ist. Nach diesen Vorbereitungen werden nun in {\S} 3 implizite Operationen betrachtet. Zugrundegelegt wird ein \textit{Banach}scher Raum mit den Elementen \(P,P_0,\ldots\) sowie ein beliebiger metrischer Raum mit den Elementen \(Q,Q_0,\ldots ;F(P,Q)\) sei eine Operation, die jedem \(P\) einer Umgebung von \(P_0\) im \(P\)-Raum und jedem \(Q\) einer Umgebung von \(Q_0\) im \(Q\)-Raum ein Element des \(P\)-Raumes zuordnet. Dann gelten die folgenden Sätze: (1) \(F(P,Q)\) erfülle die Voraussetzungen: (a) \(F(P_0,Q_0)=0\); (b) \(F(P,Q)\) ist für gewisse Umgebungen von \(P_0\) und \(Q_0\) stetig in bezug auf \(P\) und \(Q\); (c) \(F(P,Q)\) besitzt für gewisse Umgebungen von \(P_0\) und \(Q_0\) ein partielles Differential \(d_PF(P,Q;X)\); (d) \(d_PF(P,Q;X)\) ist für \(P = P_0\) und \(Q=Q_0\) stetig in bezug auf \(P\) und \(Q\). Dann gibt es für jede komplexe Zahl \(\lambda\) mit \[ |\lambda| \cdot \overline{m}_{d_PF}(P_0,Q_0) < 1 \] Umgebungen von \(P_0\) und \(Q_0\), in denen die Gleichung \[ P-P_0=\lambda F(P,Q) \] genau eine Lösung \(P=\varPhi(Q)\) hat. Diese Lösung ist stetig und erfüllt \(\varPhi(Q_0)=P_0\). Sie läßt sich durch sukzessive Approximation \[ \varPhi_0(Q)=P_0, \; \varPhi_n(Q)=P_0+\lambda F(\varPhi_{n-1}(Q),Q) \qquad (n=1,2,\ldots) \] konstruieren. (2) Unter den Voraussetzungen des vorstehenden Satzes hat allgemeiner die Gleichung \[ P=\lambda F(P,Q)+G(Q) \] für jede komplexe Zahl \(\lambda\) mit \[ |\lambda| \cdot \overline{m}_{d_PF}(P_0,Q_0)<1 \] in gewissen Umgebungen von \(P_0\) und \(Q_0\) genau eine Lösung \(P=\varPhi(Q)\), die überdies stetig ist und \(\varPhi(Q_0)=P_0\) erfüllt, wenn \(G(Q)\) eine Operation ist, die (a) jedem \(Q\) einer Umgebung von \(Q_0\) im \(Q\)-Raum ein Element des \(P\)-Raums zuordnet, die (b) in einer Umgebung von \(Q_0\) stetig ist und die (c) \(G(Q_0)=P_0\) erfüllt. (Für den Fall, daß \(F(P,Q)\) in bezug auf \(P\) linear ist, umfaßt die in Rede stehende Gleichung inhomogene lineare Integralgleichungen, die von einem, im allgemeinen abstrakten, Parameter \(Q\) stetig abhängen.) (3) Ist schließlich jede beschränkte Folge des \(P\)-Raums kompakt, und erfüllt \(F(P,Q)\) außer (a) bis (d) in (1) noch die Voraussetzung, daß die lineare Operation \[ Y=d_PF(P_0,Q_0;X) \] eine eindeutige Umkehrung \(X=\varPsi(Y)\) besitzt, dann hat die Gleichung \[ F(P,Q) = 0 \] in gewissen Umgebungen von \(P_0\) und \(Q_0\) genau eine Lösung \(P = \varPhi(Q)\). Diese Lösung ist stetig und erfüllt \(\varPhi(Q_0) = P_0\).