Properties of the operator \(z^{-\nu}\,\log \, z\), where \(z=d/dx\). (Q573103)

Die Operatoren \(z=\dfrac{d}{dx}\) \(z^{\nu}\) und \(z^{-\nu}\), wo \(\nu\) ganz oder rational sein kann, sind schon vielfach betrachtet und zur Auflösung von Funktionalgleichungen verwendet worden. \textit{Volterra} hat auch den Operator \(\log \, z\) eingeführt und ihn zur Auflösung der Integralgleichung verwendet: \[ f(x) = \int\limits_{0}^{x} [\log \, (x-t) + C] \, u(t)\, dt \qquad (f(0) = 0), \] wo \(C\) die \textit{Euler}sche Konstante bedeutet (vgl. \textit{V. Volterra, J. Pérès}; 1924; F. d. M. 50, 290 (JFM 50.0290.*)). In der vorliegenden Arbeit werden die formalen operationstheoretischen Eigenschaften der Operatoren \(z^{-\nu}\,\log \, z\) und ihrer Inversen entwickelt und einige Beispiele für ihre Anwendung gegeben. \(z^{-\nu}\,\log \, z\) wird definiert als \(-\dfrac{d}{d \nu}z^{-\nu}\), wo \(z^{-\nu}\) das verallgemeinerte \(\nu\)-te Integral \[ z^{-\nu} = \int\limits_{0}^{x} \frac{s^{\nu-1}e^{-sz}}{\varGamma(\nu)} \, ds \] bedeutet. Der inverse Operator \(\dfrac{z^{\nu}}{\log \, z}\) wird entsprechend als Integral von \(z^{-\mu+\nu}\) über \(\mu\) von \(0\) bis \(\infty\) eingeführt.