Einführung in die Theorie der kontinuierlichen Gruppen. (Q573164)

Vor dreißig Jahren schon wollte Verf. unter Mitwirkung des Referenten eine Einführung in die \textit{Lie}sche Gruppentheorie schreiben. Diese Absicht ist unausgeführt geblieben, und der vorliegenden ``Einführung'' liegt ein ganz andrer Plan zugrunde; sie ist viel weniger systematisch und deshalb auch elementarer ausgefallen. Das erste der vier Kapitel behandelt die infinitesimale Transformation, aufgefaßt als ein Geschwindigkeitsfeld, und die von ihr erzeugte eingliedrige Gruppe. Als Beispiel werden die eingliedrigen Gruppen von Bewegungen betrachtet und durch Quaternionen dargestellt. Ein andres Beispiel ist die von \textit{Lie} aufgestellte infinitesimale Transformation, von der die Fußpunkttransformation erzeugt wird, ein drittes die Erzeugung linearer homogener Transformationen durch infinitesimale Transformationen dieser Art. Dabei wird allerdings nur der Fall reeller Transformationen betrachtet. Verf. bespricht weiter die Bahnkurven und die Invarianten einer infinitesimalen Transformation, den aus zwei solchen gebildeten Klammerausdruck, die \textit{Jacobi}sche Identität als Ausdruck für die Kovarianz des Klammerausdrucks, endlich den Zusammenhang zwischen den Systemen linearer homogener partieller Differentialgleichungen erster Ordnung und den Systemen von \textit{Pfaff}schen Gleichungen. Dabei wird auch die bilineare Kovariante eines \textit{Pfaff}schen Ausdrucks eingeführt. In Kap. II werden zunächst Scharen von Transformationen betrachtet und die Kriterien für die Wesentlichkeit der Parameter entwickelt. Der allgemeine Begriff der \(r\)-gliedrigen Gruppe wird durch Beispiele erläutert, und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen werden aufgestellt. Die Parametergruppe gibt Anlaß zur Betrachtung einer beliebigen \(r\)-gliedrigen einfach transitiven Gruppe und zu dem Nachweise, daß durch jede solche Gruppe eine lineare Schar von invarianten \textit{Pfaff}schen Ausdrücken und eine lineare Schar von invarianten infinitesimalen Transformationen bestimmt wird. In Kap. III werden die drei \textit{Lie}schen Fundamentalsätze entwickelt. Dem Anfänger dürfte das Verständnis dadurch erleichtert werden, daß nicht gleich auf jeden Fundamentalsatz der Beweis seiner Umkehrung folgt, daß vielmehr die drei Umkehrungen nachher hintereinander bewiesen werden. Dabei darf nicht unerwähnt bleiben, daß Verf. grundsätzlich an der von \textit{Lie} gewählten, wohldurchdachten und zweckmäßigen Bezeichnung festhält, was leider \textit{Maurer} und \textit{F. Schur} nicht getan haben. Es folgen dann noch die von \textit{Cartan} stammende Auffassung des ersten Fundamentalsatzes sowie Betrachtungen über die von \textit{Pick} verallgemeinerte \textit{Cesàro}sche Geometrie, diese mit einer Anwendung auf die räumliche affine Gruppe. In Kap. IV behandelt Verf. das \textit{Lie}sche Problem der Integration eines vollständigen Systems mit bekannten infinitesimalen Transformationen. In dem Normalproblem, auf das dieses zurückgeführt werden kann, erzeugen nämlich die bekannten infinitesimalen Transformationen eine endliche Gruppe, und die erforderlichen Integrationen hängen von dieser Gruppe ab. Das war für \textit{Lie} der Anlaß, in einer, zwei und drei Dimensionen alle endlichen kontinuierlichen Gruppen zu bestimmen. Verf. führt diese Bestimmung für eine Veränderliche durch und zeigt dann, etwas anders als \textit{Lie}, wie man alle transitiven Gruppen der Ebene finden kann. Unter den gefundenen Gruppen sucht er alle heraus, die projektive Form erhalten können, und knüpft daran die Bestimmung aller Typen von transitiven projektiven Gruppen der Ebene. Er benutzt dabei ein von \textit{Lie} angegebenes Verfahren, führt dieses aber auch für die zwei- und sogar für die eingliedrigen Gruppen durch, bei denen \textit{Lie} in der betreffenden Abhandlung einen andern, bequemeren Weg eingeschlagen hat. Zuletzt werden noch die intransitiven Gruppen der Ebene, auch die projektiven, bestimmt. Bei den Schlußbemerkungen hätte erwähnt werden sollen, daß die Bestimmung der endlichen Gruppen von Punkttransformationen des Raumes, die \textit{Lie} nicht vollständig veröffentlicht hat, von \textit{Amaldi} ergänzt worden ist, und daß \textit{Lie} selbst in Bd. III der ``Transformationsgruppen'' einfache Methoden entwickelt hat, um alle projektiven Gruppen des Raumes zu finden. Besprechungen: J. R. P.; Boletín Seminario Mat. Argentino 3 (1932), 39-40. K. Mayrhofer; Monatshefte f. Math. 40 (1933), 28 kursiv. L. Potin; Revue générale des Sc. 43 (1932), 123. E. Salkowski; Unterrichtsblätter 39 (1933), 30. U. Wegner; Z. f. math. Unterricht 63 (1932), 400-401. D. van Dantzig; Zentralblatt 2 (1932), 398-399.