Kleine Bemerkungen zur Theorie der ebenen Transformationsgruppen. (Q573168)

Gestattet ein Differentialausdruck \[ ds = \omega (x,y,y_1,\ldots, y_k) \, dn \] eine infinitesimale Punkttransformation, so läßt die bekannte Zerlegung des Zuwachses \(\delta ds\) erkennen, daß ein erstes Integral der \textit{Euler-Lagrange}schen Differentialgleichung angebbar ist (besondere Form eines Satzes von \textit{E. Noether}). Hat man eine \(G_r\) von Punkttransformationen \((r \geqq 3)\) mit invariantem Bogenelement von der Ordnung \(k(=r - 2\) oder \(r-3)\), so kann man die Differentialgleichung \(2k\)-ter Ordnung der Extremalen des Bogenelements stets auf eine Gleichung \((2k - r + 1)\)-ter Ordnung zurückführen, die aufgestellt werden kann, wenn man die infinitesimalen Transformationen der \(G_r\) kennt. In gewissen Fällen ist \(2k - r + 1 = 0\), und man hat die endlichen Gleichungen der Extremalen. Die Zerlegung von \(\delta ds\) zeigt ferner, daß für die Bahnkurven der infinitesimalen Transformation der Ausdruck \(\omega \xi\) konstant ist. Bei einer \(G_r\) kann das unter Umständen zur Bestimmung der endlichen Gleichung der Bahnkurven führen. Diese Ergebnisse benutzt Verf. zum Beweise des im wesentlichen schon \textit{Lie} bekannten Satzes, daß eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die eine \(G_3\) von Punkttransformationen mit regulärem Bogenelement gestattet, nur Differentiationen und Eliminationen erfordert. Warum betrachtet Verf. nicht auch Gruppen von Berührungstransformationen?