On Abelian continuous groups. (Q573178)

Verf. skizziert einen Beweis des Satzes: Geschlossene abelsche Mannigfaltigkeitsgruppen sind analytisch. Es ist schade, daß der Beweismethode offene Gruppen nicht zugänglich zu sein scheinen; für geschlossene Gruppen ist der Analytizitätsbeweis (allgemein, über den abelschen Spezialfall hinaus) 1933 (F.~d.~M. 59\(_{\text{I}}\), 433) von \textit{J. v. Neumann} unter wesentlicher Benutzung des \textit{Haar}schen Maßbegriffs (1933; F.~d.~M. 59\(_{\text{I}}\), 432-433) geführt worden, während die eigentlichen Schwierigkeiten erst bei offenen Mannigfaltigkeiten auftreten. Zusatz bei der Korrektur: Auch der Fall der offenen Gruppe ist inzwischen erledigt worden, und zwar von \textit{Pontrjagin} (1934; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 362-363). Der Beweis beruht auf dem Hilfssatz, den Verf. in der vorstehend besprochenen Arbeit bewiesen hat. Der Hilfssatz liefert zu gegebenem \(p\) eine Umgebung der Identität der Gruppe, die von Elementen der Ordnung \(p\) frei ist. Das zieht auf Grund des Satzes von der Gebietsinvarianz die eindeutige Existenz der \(p\)-ten Wurzel in der Nähe der Identität nach sich. Weitere Überlegungen, die sich nicht ganz übersehen lassen, die im Prinzip aber wohl durchsichtig sind, führen zu der Zerlegung der gegebenen Gruppe nach einparametrigen Untergruppen. (V 2.)