Sur les ensembles semi-fermés et leurs applications dans la théorie des points de Peano. (Q573208)

Ist \(f(x,y)\) in einem Gebiet \(G\) stetig, so kann es bekanntlich vorkommen, daß durch einen Punkt \(P\) dieses Gebiets mehr als eine Integralkurve der Differentialgleichung \[ y'=f(x, y) \tag{1} \] geht. Solche Punkte \(P\) nennt Verf. \textit{Peano}-Punkte. Mit \(H(P)\) wird die Gesamtheit der von \(P\) ausgehenden Integralkurven bezeichnet. I. Die erste Note gipfelt in dem Satz: Ist \(y=\varphi(x)\) eine mit stetiger Ableitung versehene Kurve des Gebiets \(G\), so ist \(H(P)\) für die Punkte \(P\) dieser Kurve nur punktweise unstetig, d. h. die Unstetigkeitspunkte bilden höchstens eine Menge erster Kategorie. II. In der zweiten Note wird über (1) die zusätzliche Voraussetzung gemacht, daß in jeden Punkt \(P\) des Gebiets \(G\) von rechts (oder von links) her nur \textit{eine} Integralkurve einmündet, was z. B. der Fall ist, wenn \(f(x,y)\) eine monoton abnehmende Funktion von \(y\) ist. Dann gilt nach der Verf. unter anderm: Die Menge der \textit{Peano}-Punkte ist im ganzen Gebiet \(G\) von der ersten Kategorie und auf jeder vertikalen Geraden nur abzählbar. III. In der dritten Note wird \(f(x,y)\) wieder nur als stetig vorausgesetzt. Die \textit{Peano}-Punkte \(P\) werden in drei Klassen eingeteilt, je nachdem in \(P\) von rechts her oder von links her nur eine Integralkurve einmündet oder weder rechts noch links von \(P\) eine solche Eindeutigkeit besteht. Die Note gipfelt in dem Satz: Wenn in \(G\) jeder Punkt \textit{Peano}-Punkt ist (was nach \textit{Lavrentieff} vorkommen kann), so liegen die vollständigen \textit{Peano}-Punkte in \(G\) überall dicht.