Intégration simultanée de deux équations différentielles du premier ordre. (Q573217)

Die Integration einer Gleichung \[ A(x,y)\, dx + B(x,y)\, dy = 0 \] läuft bekanntlich darauf hinaus, einen Multiplikator zu finden, d. h. irgend eine Lösung einer gewissen linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. Verf. zeigt, daß entsprechend von zwei voneinander unabhängigen Gleichungen \[ \left\{ \begin{aligned} & A_1(x,y)\, dx + B_1(x,y)\, dy = 0, \\ & A_2(x,y)\, dx + B_2(x,y)\, dy = 0 \end{aligned} \right. \qquad (\varDelta=A_1\, B_2 - B_1 \, A_2 \neq 0) \tag{*} \] die erste bzw. die zweite den Multiplikator \[ \varDelta^{-1} [B_2\, F_x' - A_2 \, F_y'] \quad \text{bzw.} \quad \varDelta^{-1} [-B_1\, F_x' + A_1 \, F_y'] \] hat, wo \(F=F(x,y)\) irgend eine von Null verschiedene Lösung der linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ \frac{\partial }{\partial y} (F_x'\, A_1 \, B_2 \, \varDelta^{-1} F_y'\, A_1 \, A_2 \, \varDelta^{-1}) = \frac{\partial }{\partial x} (F_x'\, B_1 \, B_2 \, \varDelta^{-1} F_y'\, B_1 \, A_2 \, \varDelta^{-1}) \] ist, daß also die Integration der Gleichungen (*) simultan geleistet werden kann, sobald man irgend ein solches \(F(x,y)\) kennt. -- Hinweis auf das differentialgeometrische Problem, dem diese Frage entsprungen ist.