La caractéristique analytique des singularités d'intégrales de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients rationnels arbitraires. (Q573236)

Wie in einer früheren Note des Verf. [C. R. 188, 848--850 (1929; JFM 55.0847.01)] wird das Differentialsystem \[ \dfrac{dY}{dx} = \sum\limits_{h=1}^m\sum\limits_{r=1}^s \dfrac{YU_h^{(r)}}{(x-a_h)^r} \] für die Umgebung einer Stelle \(a_j\) in der Form integriert: \[ Y(x) = E_j(x)\overline{Y}_j(x), \] wo \(\overline{Y}_j(x)\) regulär für \(x = 0\), \(|\overline{Y}_j(x)|\neq 0\), während \(E_j(x)\) dem ``elementaren'' System genügt: \[ \dfrac{dE_j}{dx} = \sum\limits_{r=1}^s\dfrac{E_jW_j^{(r)}}{(x-a_j)^r}. \] Damals sind die \(W_j^{(r)}\) als in der Umgebung der Nullmatrizen reguläre Funktionen der \(U\) erkannt worden; jetzt wird mit Hilfe von Integralgleichungsmethoden ihre Darstellung im Großen angezeigt: sie sind meromorphe Funktionen der \(U\) (zum Begriff vgl. die Note des Verf. in [C. R. 191, 1112--1115 (1930; JFM 56.0364.01)]. -- In JFM 55.0847.01, Z. 6/5 von unten hat, wie Ref. berichtigend bemerkt, anstatt ``der \(ns\) ganzen'' zu stehen: ``des Systems der \(ns\) holomorphen''). Der skizzierte Beweisgang geht von der (einfachen) Tatsache aus, daß \((x-a_j)^{-W_j^{(1)}} \cdot Y(x)\) eine ganze Funktion der \(U\) ist; alsdann werden als Lösungen von Integralgleichungen, in deren Kern die genannte Funktion vorkommt, gewisse Hilfsfunktionen \(F_j (x)\) und \(G_j(x)\) erklärt, aus denen dann im wesentlichen vermöge von Integrationen um \(x = 0\) die gesuchten Koeffizienten \(W_j\) hervorgehen.