A certain multiple-parameter expansion. (Q573308)

Als Verallgemeinerung eines von \textit{C. C. Camp} [Am. J. Math. 50, 259--268 (1928; JFM 54.0506.01)] gestellten Problems untersucht Verf. die Entwicklung einer willkürlichen Funktion \(f(x_1, x_2,\ldots, x_n)\) nach den Eigenfunktionen eines Randwertproblems des Systems linearer Differentialgleichungen \[ \begin{matrix}\l\\ X_j'\left(\sum\limits_{k=1}^j \lambda_k a_{jk}(x_j)\sum\limits_{k=j+1}^n\lambda_k a_{jk}(x_j)\right)X_j=0 \qquad (j=1,2,\ldots,n-1),\\ X_n'+\sum\limits_{k=1}^n\lambda_k a_{nk}(x_n)X_n=0, \end{matrix} \tag{1} \] wo die \(a_{jk}(x_j)\) positive oder identisch verschwindende Funktionen und die \(\lambda_k\) Parameter sind, und die Randbedingungen \[ X_j(-a) = \gamma_jX_j(b)\qquad (\gamma>0; \;j = 1,2,\ldots, n) \] lauten. Mit Hilfe einer Erweiterung von \textit{Birkhoff}s Kurvenintegralmethode wird bewiesen, daß für eine stückweis stetige Funktion \(f(x_1,\ldots, x_n)\) mit stückweis stetigen Ableitungen die Entwicklung \[ \sum_m C_m\prod_{j=1}^n X^{(m)}_j\qquad (m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots), \] wo die \(X_j\) die Eigenfunktionen der Randwertaufgabe darstellen, gegen den sogenannten Hauptwert von \(f\) konvergiert.