Lineare Differenzengleichungen mit Koeffizienten von gemeinsamer Periode. (Q573319)

Verf. behandelt ein System von Differenzengleichungen \[ f_k(x+h)=\sum_{l=1}^n q_{kl}(x)f_l(x)+B_k(x)\qquad (k=1,2,\ldots,n), \tag{1} \] deren Koeffizienten \(q_{kl}(x)\) und \(B_k(x)\) die Periode \(\omega\) besitzen; dabei soll der Quotient \(\dfrac h{\omega}\) nicht reell sein, so daß die Zahl \[ \lambda=e^{\frac{2\pi i h}\omega} \tag{2} \] einen von 1 verschiedenen absoluten Betrag hat. Gesucht werden periodische Lösungen \(f_k (x)\), d. h. solche, die ebenfalls die Periode \(\omega\) haben. Zunächst werden die einfache Gleichung \(f(x+h)=tf(x)\) und die durch Iteration daraus hervorgehende Gleichung \[ \sum_{l=0}^n(-1)^{n-l}\binom{n}{l}t^{n-l}f(x+lh)=0 \] untersucht, für die man leicht mit Hilfe der Sigmafunktion meromorphe Lösungen mit der Periode \(\omega\) angeben kann. Für die allgemeine Gleichung (1) gewinnt Verf. zahlreiche Resultate, von denen nur die wichtigsten als charakteristische Beispiele hier angegeben werden können. Dabei wird durchweg angenommen, daß für die Koeffizienten \(q_{kl}(x)\) die Reihenentwicklungen gelten: \[ q_{kl}(x)=\sum_{\alpha=0}^\infty q_{kl\alpha}e^{\frac{2\pi i\alpha x}{\omega}} \;\text{für} \;\left|e^{\frac{ 2\pi ix}\omega}\right|\leqq R. \tag{3} \] Ferner sei die Determinante \(|q_{kl}(x)|\) für \(\left|e^{\frac{ 2\pi ix}\omega}\right|\leqq r\) von Null verschieden. Für die \(B_k(x)\) sollen Entwicklungen der Form gelten: \[ B_k(x)=\sum_{\alpha=-\infty}^\infty B_{k\alpha} e^{\frac{ 2\pi i\alpha x}\omega} \;\text{für} \;\varrho_1\leqq \left|e^{\frac{ 2\pi i x}\omega}\right|\leqq\varrho_2, \tag{4} \] wobei \[ \varrho_1<\varrho_2\leqq \begin{cases} R & \text{für} \;|\lambda|>1,\\ r & \text{für} \;|\lambda|<1. \end{cases} \tag{5} \] Unter diesen Voraussetzungen wird nun die Lösung von (1) durch den Ansatz \[ f_k(x)=\sum_{\alpha=-\infty}^\infty a_{k\alpha} e^{\frac{ 2\pi i\alpha x}\omega} \] versucht. Es ergibt sich die Existenz periodischer Lösungen, welche im Bereich \[ \left. \begin{matrix}\l\\ \varrho_1\\ \varrho_1|\lambda| \end{matrix} \right\}\leqq\left|e^{\frac{ 2\pi i x}\omega}\right|\leqq \begin{cases} \varrho_2|\lambda| &, \text{falls} \;|\lambda|>1,\\ \varrho_2 &, \text{falls} \;|\lambda|<1, \end{cases} \tag{6} \] meromorph sind. Wenn insbesondere die charakteristische Gleichung der Matrix \(\| q_{kl0}\|\) keine Wurzel der Form \(\lambda^\alpha\) hat, wo \(\alpha\) eine ganze Zahl, so gibt es \textit{eine} und \textit{nur eine} im Bereich (6) \textit{reguläre} Lösung; im Fall \(B_k(x)=0\) ist das natürlich die triviale Lösung \(f_k (x) = 0\). Im Fall des \textit{homogenen} Systems (d. h. wenn \(B_k (x) = 0\) ist) wird ferner die Existenz eines \textit{Fundamentalsystems} periodischer Lösungen nachgewiesen, welche in der Halbebene \[ \left|e^{\frac{ 2\pi i x}\omega}\right|\leqq \begin{cases} R|\lambda| &, \text{falls} \;|\lambda|>1,\\ r &, \text{falls} \;|\lambda|<1, \end{cases} \] meromorph sind. Im letzten Abschnitt werden die gewonnenen Ergebnisse speziell für die Differenzengleichung \(n\)-ter Ordnung, die sich ja leicht als System schreiben läßt, ausgewertet.