Zur Theorie der nicht linearen Differenzengleichungen. (Q573320)

Unter Benutzung der Ergebnisse seiner vorstehend besprochenen Arbeit über lineare Differenzengleichungen betrachtet Verf. das System \[ f_k(x+h)=\sum_{l=1}^n q_{kl}f_l(x)+ B_k(x,f_1(x),\ldots,f_n(x))\qquad (k=1,\ldots,n), \] wobei für die Funktionen \(q_{kl}(x)\) dasselbe gilt wie im vorigen Referat, während die Zusatzglieder die folgende Form haben: \[ \begin{gathered} B_k(x,f_1,\ldots,f_n)= \sum _{\substack{ \alpha_1,\ldots,\alpha_n\\ \alpha_1+\cdots+\alpha_n\geqq 2}} ^{0\ldots\infty} \sum_{\alpha=-\infty}^\infty \varGamma^{(k)}_{\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\alpha} f^{\alpha_1}_1\ldots f_n^{\alpha_n} e^{\frac{2\pi i\alpha x}\omega} \\ \text{für} \;\varrho_1\leqq |e^{\frac{2\pi ix}\omega}|\leqq\varrho_2,\quad |f_k|\leqq F. \end{gathered} \] Gesucht werden wieder analytische Lösungen \(f_k(x)\) mit der Periode \(\omega\). Verf. gewinnt sie durch die Methode der sukzessiven Approximationen, indem er mit \(f^{(0)}_k(x)\) irgend eine analytische periodische Lösung des linearen homogenen Systems \[ f_k(x+h)=\sum_{l=1}^n q_{kl}(x)f_l(x) \] bezeichnet und dann die Funktionenfolge \(f_k^{(\nu)}(x)\) rekurrent durch das lineare System \[ f^{(\nu)}_k(x+h)= \sum_{l=1}^n q_{kl}(x)f_l^{(\nu)}(x)+ B_k(x,f_1^{(\nu-1)}(x),\ldots,f_n^{(\nu-1)}(x)) \] definiert.