On the operational solution of linear finite difference equations. (Q573321)

Es wird ein dem \textit{Heaviside}-Kalkül ähnlicher Kalkül für endliche Differenzen aufgebaut. Mit den Definitionen \[ \begin{aligned} \varDelta u_x & = u_{x+1}-u_x,\\ P^{-1}u_x &= u_{x-1}+u_{x-2}+\cdots+u_0,\\ (P-a)^{-r}X& =(1+a)^xP^{-r}[(1+a)^{-x-r}X]\\ \dfrac{P}{(P-a)^r}1 &=\dfrac{x(x-1)\cdots(x-r+2)}{(r-1)!}(1+a)^{x-r+1} \end{aligned} \] gilt das Analogon zum \textit{Heaviside}schen ``expansion theorem'': Sind \(\varphi\) und \(\psi\) Polynome, und ist der Grad von \(\varphi\) nicht größer als der von \(\psi\), so ist \[ \frac{\varphi(P)}{\psi(P)}1=\sum A\frac{P}{(P-a)^r}1, \] wo \(\sum\dfrac{A}{(P-a)^r}\) die Partialbruchzerlegung von \(\dfrac{\varphi(P)}{P\psi(P)}\) ist. Damit können lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten gelöst werden. Beispiel: \[ \varDelta u_x = a u_x + X. \] Die Anwendung von \(P^{-1}\) ergibt: \[ u_x - u_0= P^{-1} (au_x + X). \] Hieraus folgt durch Multiplikation mit \(P\): \[ Pu_x - Pu_0 = au_x + X, \] also \[ u_x=\frac{P}{P-a}u_0+\frac1{P-a}X= u_0(1+a)^x+(1+a)^xP^{-1}[(1+a)^{-x-1}X]. \] (IV 7.)