Sur les solutions linéairement indépendantes des équations aux dérivées partielles. (Q573343)

Für die lineare Abhängigkeit der \((N-1)\)-mal differenzierbaren Funktionen \(f_1(x),\ldots\), \(f_N(x)\) einer reellen Variablen \(x\) ist eine notwendige und unter gewissen zusätzlichen Voraussetzungen auch hinreichende Bedingung das identische Verschwinden der \textit{Wronski}schen Determinante dieser Funktionen. Verf. dehnt diese Tatsache auf Funktionen \(f_1(x, y),\ldots, f_N(x, y)\) von zwei Variablen aus: (1) Wenn die Funktionen sämtlich die partielle Differentialgleichung erster Ordnung \[ \frac{\partial z}{\partial y}=\alpha(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}+ \beta(x,y)z \] erfüllen, sind sie unter den nötigen Voraussetzungen über Differenzierbarkeit der \(f_\nu\), \(\alpha\), \(\beta\) linear abhängig, wenn die Determinante \[ \left|\frac{\partial^\mu f_\nu}{\partial x^\mu}\right|\qquad (\mu=0,\ldots,N-1; \nu=1,\ldots,N) \] identisch verschwindet und die beiden Determinanten \[ \left|\frac{\partial^\mu f_\nu}{\partial x^\mu}\right|, \;\left|\frac{\partial^\mu f_\nu}{\partial y^\mu}\right|\qquad (\mu=0,\ldots,N-2; \nu=1,\ldots,N-1) \] in dem ganzen betrachteten Gebiet \(\neq 0\) sind. (2) Wenn die Funktionen die elliptische Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2z}{\partial y^2}= \alpha\frac{\partial z}{\partial x}+ \beta\frac{\partial z}{\partial y}+\gamma z \] erfüllen, sind sie unter den nötigen Voraussetzungen über die Differenzierbarkeit linear abhängig, wenn die Matrix mit den \(N\) Zeilen \[ \left(f_\nu; \frac{\partial f_\nu}{\partial x}, \frac{\partial f_\nu}{\partial y}, \frac{\partial^2 f_\nu}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f_\nu}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f_\nu}{\partial x\partial y},\ldots, \frac{\partial^n f_\nu}{\partial x^n}, \frac{\partial^n f_\nu}{\partial x^{n-1}\partial y}\right) \] einen Rang \(<N\) hat und gewisse Unterdeterminanten in dem ganzen betrachteten Gebiet von Null verschieden sind. (3) Ein entsprechender Satz wird für Funktionen aufgestellt, die eine hyperbolische Differentialgleichung erfüllen. Daran schließen sich Folgerungen und Erweiterungen.