Ein Beitrag zum Problem der Einbettung der Riemannschen Räume in euklidischen Räumen. (Q573361)

Das Problem, die (reguläre) quadratische Differentialform \[ a_{rs}(y_1, y_2, \ldots, y_n) dy^rdy^s\qquad (r, s = 1, 2,\ldots, n) \] (im Kleinen) in eine \(N =\dbinom{n+1}2\)-dimensionale euklidische Differentialform einzubetten, d. h. mit passend zu wählenden Einbettungsfunktionen \[ x_1(y_1,\ldots,y_n),\;x_2(y_1,\ldots,y_n),\ldots, x_N(y_1,\ldots,y_n) \] die Identität \[ \sum_{i=1}^Ndx_i^2\equiv\sum_{r,s=1}^n a_{rs}dy^rdy^s \] zu erzielen, führt auf das partielle Differentialsystem \[ E_{r,s}\equiv\sum_{i=1}^N\frac{\partial x_i}{\partial y_r} \frac{\partial x_i}{\partial y_s}-a_{rs}=0\qquad (r,s=1,2,\ldots,n). \] Eine Integration dieses Systems hat zuerst \textit{Janet} gegeben (1927; F. d. M. 53, 699 (JFM 53.0699.*)), wobei aus der Existenz einer (durch gewisse Zusatzbedingungen eingeschränkten) Lösung von \[ E_{k,l} = 0\qquad (m = 2,3,\ldots,n; k,l = 1, 2,\ldots, m- 1) \] auch auf die Existenz einer Lösung von \[ E_{k,l} = 0\qquad\qquad\qquad\qquad (k, l=1,2,\ldots, m - 1, m) \] geschlossen werden kann. Dabei hat Janet den Rang der Matrix \[ \begin{multlined} \left(\left.\frac{\partial x_i}{\partial y_h}\right|_0, \left.\frac{\partial^2 x_i}{\partial y_k\partial y_l}\right|_0, \left.\frac{\partial x_i}{\partial y_m}\right|_0\right)\\ \left(i=1,2,\ldots,N=\dfrac{m+1}2;h,k,l=1,2,\ldots,m-1\right) \end{multlined} \tag{*} \] im Punkt \(y_i^0\) mit \(\dbinom m2+1=\dbinom{n-1}2+m\) bewertet -eine für die Eineindeutigkeit der Berechnung der zweiten Ableitungen (in den Integrabilitätsbedingungen) wesentliche Voraussetzung. Wie Verf. zeigt, kommt diese Voraussetzung darauf hinaus, daß die auf einer \(F_m\): \[ x_i=x_i(y_1,\ldots,y_m) \qquad (i =1,2,\ldots,N) \] des euklidischen \(R_N\) gelegene \(F_{m-1}\): \[ x_i = x_i(y_1,\ldots, y_{m-1},y_m^{(0)}) \qquad (i =1,2,\ldots, N) \] (unter \(y_1, y_2, \ldots, y_m\) versteht Verf. jetzt in \(y_i^{(0)}\) geodätische Parameter, unter \(F_{m-1}\) also keine Asymptotenmannigfaltigkeit) einen nicht ausgearteten ersten Schmiegraum (Vektorraum der linear unabhängigen ersten und zweiten Ableitungen des Ortsvektors) \(J_{12}\) trägt. Wird eine derartige \(F_{m-1}\) in \(R_N\) eingebettet (nicht ausgeartete Einbettung), so läßt sich analog dem \textit{Janet}schen Verfahren auch die Möglichkeit einer (nicht ausgearteten) Einbettung einer \(F_m\) in \(R_N\) \(\left(N=\dbinom{n+1}2\right)\) nachweisen. Dabei wird stets \(|a_{rs}|\not\equiv 0\) vorausgesetzt. Andernfalls liegen die Verhältnisse völlig anders (vgl. z. B. \textit{J. Lense}, 1926; F. d. M. 52, 748 (JFM 52.0748.*)). Schließlich beweist Verf. noch den Satz: Jede \(V_n\) mit positiv definiter Metrik läßt sich in einen \(N\)-dimensionalen euklidischen Raum \textit{reell} einbetten, wobei \(N =\dbinom{n+1}2\) ist. Im Falle der Einbettung einer \(V_l\) in eine zweite \textit{Riemann}sche Mannigfaltigkeit \(V_N\) kann man analog verfahren. (V 6 C.)