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Problème de calcul différentiel et intégral donné à l'agrégation en 1929. - MaRDI portal

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Problème de calcul différentiel et intégral donné à l'agrégation en 1929. (Q573371)

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scientific article; zbMATH DE number 2556964
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English
Problème de calcul différentiel et intégral donné à l'agrégation en 1929.
scientific article; zbMATH DE number 2556964

    Statements

    Problème de calcul différentiel et intégral donné à l'agrégation en 1929. (English)
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    1931
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    Ausführliche Lösung der folgenden Examensaufgabe: (1) \(Oxyz\) sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem; \(p\) und \(q\) seien die auf einer Fläche \(S\) genommenen partiellen Ableitungen von \(x\) und \(y\) nach \(z\). Man bilde die partielle Differentialgleichung \(E\) dafür, daß \(S\) und die Kugel \(\varSigma\) mit dem Mittelpunkt \(O\) und dem beliebigen Radius \(r\) sich unter konstantem Winkel \(V\) schneiden. Man setze \(V = f (r)\); die Funktion \(f(r)\) ist als gegeben anzusehen. (2) Man bilde das die Charakteristiken von \(E\) bestimmende Differentialgleichungssystem \(\mathfrak C\) und führe bei der Integration von \(\mathfrak C\) die Linienkoordinaten der Normale von \(S\) ein. Jede Charakteristik \(C\) von \(E\) liegt in einer durch \(0\) gehenden Ebene \(P\). Unter welchem Winkel schneidet \(P\) die Tangentenfläche von \(C\)? (3) Es sei \(OZ\) eine Normale von \(P\) mit den Richtungscosinus \(\cos\alpha\cos\beta\), \(\cos\alpha\sin\beta\), \(\sin\alpha\); \(OY\) habe die Richtungscosinus -\(\sin\beta\), \(\cos\beta\), 0, und \(O\)Z sei so gewählt, daß \(OX\,YZ\) ein rechtwinkliges Dreibein ist, dessen Orientierung mit \(Oxyz\) übereinstimmt. Man gebe die Formeln \(F\) an, die die Koordinaten \(x\), \(y\), \(z\) eines Punktes \(M\) von \(C\) durch \(\alpha\), \(\beta\), \(\varrho\), \(\varphi\) ausdrücken (\(\varrho\), \(\varphi\) sind Polarkoordinaten in \(P\) mit der Polarachse \(OX\)). Es werden noch weitere Fragen aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Differentialgeometrie gestellt. (V 6 B.)
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