Generalised solutions of Laplace's equation. (Q573388)

Wie in der vorhergehend besprochenen Arbeit behandelt Verf. die Differentialgleichung (1), aber jetzt unter der Annahme, daß der Krümmungstensor der Metrik (2) überall verschwinde. Er entwickelt zwei Sätze zur Auffindung allgemeiner Lösungen von (1). Man ermittle zunächst \(\bar x^i(\tau)\) so, daß die Gleichungen \[ \sum \bar{g}_{\mu\nu} \frac{d\bar x^\mu}{d\tau} \frac{d\bar x^\nu}{d\tau}=0, \frac{d^2\bar x^\mu}{d\tau^2}+\sum_{\alpha,\beta} \left\{\begin{matrix} \alpha\;\beta\\ \mu\end{matrix}\right\} \frac{d\bar x^\alpha}{d\tau}\frac{d\bar x^\beta}{d\tau}=0 \tag{3} \] erfüllt sind; es sei s die geodätische Entfernung von \(\bar x^i\) und \(x^i\), \(\varOmega=\frac12 s^2\); dann ist \[ V=\left(\frac{\partial\varOmega}{\partial\tau}\right) \] und \[ V=\varphi(\tau)\left[\frac{\partial\varOmega}{\partial\tau}\right] ^{-\frac12(n-2)} \] bei willkürlichen Funktionen \(f\), \(\varphi\) je eine Lösung von (1), wenn nach Ausführung der Differentiation \(\tau\) vermittels der Gleichung \(\varOmega=0\) als Funktion der \(x^i\) bestimmt wird. Im Spezialfall der euklidischen Metrik und für \(n=3\) führen diese Lösungen direkt auf die \textit{Whittaker}sche Lösung der \textit{Laplace}schen Gleichung. (V 6 C.)