Extension de la notion de solution élémentaire principale et applications. (Q573392)

Verf. verallgemeinert einen linearen Differentialausdruck vom elliptischen Typus in \(m\) Veränderlichen in folgender Weise: \(a_{\alpha\beta}=a_{\beta\alpha}\), \(b_{\alpha}\), \(c\) (\(\alpha,\beta=1, 2,\ldots, m\)) seien Ortsfunktionen des \(m\)-dimensionalen Raumes; die positiv definite quadratische Form \[ \sum_{\alpha,\beta=1}^m a_{\alpha\beta}z_\alpha z_\beta \] sei in eine Summe von höchstens \(m\) Produkten zerlegt: \[ \sum_{\alpha=1}^m k_{n\alpha}z_\alpha\cdot \sum_{\alpha=1}^m l_{n\alpha}z_\alpha \qquad (n=1,2,\ldots,m); \] ferner sei \(K_nv\) der Zuwachs der Ortsfunktion \(v\), wenn die \(x_\alpha\) die Zuwächse \(k_{n\alpha} t\), und \(L_nv\) ihr Zuwachs, wenn die \(x_\alpha\) die Zuwächse \(l_{n\alpha}r\) erhalten. Unter einem verallgemeinerten Differentialausdruck versteht Verf. den Ausdruck \[ Fu=\lim_{t,r\to 0} t^{-1}r^{-1}\sum_{n=1}^m K_nL_nu+ \sum_{\alpha=1}^m b_\alpha\frac{\partial u}{\partial x_\alpha}+cu, \] falls der Grenzwert von der Zerlegung der quadratischen Form und von der Art und Weise, in der \(t\) und \(r\) gegen Null streben, nicht abhängt. Auf eine mit einem solchen Ausdruck gebildete Differentialgleichung lassen sich die Begriffe und Sätze aus der Theorie der gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus (Grundlösung, Randwertaufgaben, \textit{Green}sche Funktion, Lösung mit Hilfe von Integralgleichungen) in passender Weise übertragen.