Neue Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip. (Q573408)

Verf. gibt dem Beweisverfahren des \textit{Dirichlet}schen Prinzips eine Wendung, welche ohne besondere Voraussetzungen direkt die dabei auftretende Variationsaufgabe in sehr einfacher Weise löst. Der klare und schöne Gedankengang ist folgender: \(G\) sei eine über der \((x,y)\)-Ebene ausgebreitete \textit{Riemann}sche Fläche, definiert durch eine Folge von Gebieten \(G_n\), von denen jedes endlich vielblättrig ist und von stückweise glatten Kurven begrenzt wird. Sie möge den um den Punkt \(O(0, 0)\) mit dem Halbmesser \(a\) geschlagenen Kreis \(K\) enthalten. Die in \(K\) durch \[ S(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{x}{a^2} \] definierte Funktion ist das Strömungspotential einer Doppelquelle in \(O\). Außerhalb \(K\) sei \(S = 0\). Man betrachtet nun alle in \(G\), vom Punkt \(O\) abgesehen, stetigen und stückweise mit stetigen Ableitungen erster Ordnung versehenen Funktionen \(\varphi\), für welche \(\varPhi=\varphi-S\) im Punkte \(O\) stetig ist, und sucht unter ihnen eine solche auf, für welche \[ \iint\limits_G\left[\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right)^2\right]dx\,dy \] einen möglichst kleinen Wert \(d\) besitzt. Es gibt sicher eine Folge \(\varPhi_1\), \(\varPhi_2,\ldots\), \(\varPhi_n,\ldots\) zulässiger Funktionen, für welche \[ \lim_{n\to\infty}\iint \left[\left(\frac{\partial\varPhi_n}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial\varPhi_n}{\partial y}\right)^2\right]dx\,dy=d \] ist. Um jeden Punkt \(A\) von \(G\) wird ein Kreis \(K_A\) mit einem passenden Halbmesser \(\alpha\) geschlagen, so daß \(K_A\) noch ganz zu \(G\) gehört, aber den Punkt \(O\) nicht enthält. Falls \(A\) in \(K\) liegt, so soll auch \(K_A\) in \(K\) liegen. Ferner setze man \(\varphi_n=\varPhi_n+S\). Nun kann man zeigen, daß die Grenzwerte \[ \lim_{n\to\infty}\frac1{\pi\alpha^2}\iint\limits_{K_A} \frac{\partial\varphi_n}{\partial x}dx\,dy=p(x,y) \] und \[ \lim_{n\to\infty}\frac1{\pi\alpha^2}\iint \frac{\partial\varphi_n}{\partial x}dx\,dy=q(x,y) \] vorhanden sind und von \(\alpha\) nicht abhängen. Dann gibt es eine überall in \(G\) außer im Punkte \(O\) stetig differenzierbare Funktion \(u\), für welche \[ \frac{\partial u}{\partial x}=p,\;\frac{\partial u}{\partial y}=q \] ist, wobei \(U = u - S\) in der Umgebung von \(O\) stetig bleibt; \(U\) löst die Minimumaufgabe, und \(u\) ist eine überall in \(G\) außer in \(O\) reguläre Potentialfunktion. Letzteres schließt Verf. daraus, daß der Wert von \(u\) in jedem Punkte \(P\) gleich seinem Mittelwert auf jedem um den Punkt \(P\) geschlagenen, in \(G\) enthaltenen Kreis ist. \(u\) ist bis auf eine additive Konstante eindeutig, die zu \(u\) konjugierte Potentialfunktion \(v\) überhaupt eindeutig. Die Funktion \(f(z)=u+iv\) bildet den Bereich \(G\), falls er schlichtartig ist, auf einen schlichten Bereich \(B\) der \((u, v)\)-Ebene ab, in dem der Punkt \(\infty\) der Bildpunkt von \(O\) ist. B besteht aus der vollen \((u, v)\)-Ebene, begrenzt von endlich oder unendlich vielen jeweils zusammenhängenden Punktmengen, deren jede eine Strecke \(v =\) const darstellt. (IV 15.)