Sur une méthode de M. Riabouchinsky ayant pour but de résoudre le problème de Dirichlet, en vue du calcul du potentiel des vitesses. (Q573414)

Die Methode von \textit{Riabouchinsky} (1929; F. d. M. \(55_{\text I}\), 287) zur Lösung des Randwertproblems verläuft so: Die Fläche \(\varSigma_1\) trage die Punkte \(M_1\); die Randwerte seien \(U(M_1)\), das dadurch bestimmte Potential \(\varphi(P)\); statt \(\varSigma_1\) nimmt man eine einfachere Fläche \(\varSigma_0\), die durch stetige Deformation aus \(\varSigma_1\) hervorgeht, wobei \(M_1\) in \(M_0\) übergeht. \(f(M_0)\) sei die Länge der Trajektorie \(M_0M_1\) man bildet den Punkt \(M_t\), dessen Abstand von \(M_0\) auf der Trajektorie gemessen \(tf(M_0)\) ist; der Ort der \(M_t\) ist die Fläche \(\varSigma_t\); \(\varphi(p,t)\) sei die Potentialfunktion, die die Randwerte \(U(M_t) = U(M_1)\) auf \(\varSigma_t\) annimmt. Dann läßt sich \(\varphi (P, t)\) durch eine \textit{Maclaurin}-Entwicklung nach \(t\) bestimmen, deren Koeffizienten nach Lösung des Randwertproblems für \(\varSigma_0\) bekannt sind. Soll diese Entwicklung auch \(\varphi(P)\) geben, so muß ihr Konvergenzkreis mindestens \(|t|\leqq 1\) sein. Verf. untersucht nun diese \textit{Maclaurin}-Entwicklung für den Fall, daß \(\varSigma_1\) einen sternförmigen Bereich begrenzt und \(\varSigma_0\) als Kugel gewählt wird. Die Koeffizienten existieren alle, wenn \(U(M_0)\) und \(f(M_0)\) auf der Kugel beliebig oft differenzierbar sind, sie lassen sich leicht durch \(U(M_0)\), \(f(M_0)\) explicite ausdrücken. Die Konvergenzfrage wird nicht beantwortet.