Über einige neue Extremaleigenschaften der Kugel. (Q573425)

Sei \(k\) die Kapazität einer geschlossenen Fläche \(F\); dann gibt es eine eindeutig bestimmte, außerhalb \(F\) reguläre harmonische Funktion \(G\), welche auf \(F\) den Wert 1 annimmt und für große \(r\) eine Entwicklung von der Form \[ G=\frac kr+\frac{a^2}{r^2}+\cdots \] hat; die Kapazität \(k\) ist somit gleich der ``Masse'' von \(G\) im Unendlichen. Versteht man unter dem Durchmesser das Maximum der Entfernung \(\overline{P_1P_2}\), wenn \(P_1\), \(P_2\) \(F\) in beliebiger Weise durchlaufen, so gilt der Satz: Unter allen geschlossenen analytischen Flächen gegebenen Durchmessers hat die Kugel die größte Kapazität. Der Beweis folgt aus einer Integralungleichung für die Kapazität konvexer Flächen. Ist \(F_h\) eine Parallelfläche von \(F\) im Abstand \(h\) mit der Oberfläche \(O_h\), so gilt \[ \frac 1k\geqq 4\pi\int\limits_0^\infty\frac{dh}{O_h}. \] Aus den Beziehungen \[ D(h) = D(0) + 2h,\;\;O_h\leqq \pi D(h)^2 \] folgt dann unmittelbar \[ \frac 1k\geqq\frac 2D, \;D\geqq 2k. \] Aus der \textit{Minkowski}schen Ungleichung \[ M^2\geqq 4\pi O, \] wo \(M\) das Integral der mittleren Krümmung bedeutet, und der Beziehung \[ M_h=M+4\pi h \] ergibt sich die Verschärfung \[ M\geqq 4\pi k, \] d. h. der Satz: Unter allen konvexen Flächen mit gegebenem Integral der mittleren Krümmung hat die Kugel die größte Kapazität. (V 6 D.)