Sur la fonction de Green d'un domaine de révolution. (Q573435)

Es handelt sich um die Bestimmung der \textit{Green}schen Funktion für Rotationsflächen erster Art, deren Meridianschnitt die Rotationsachse nicht trifft, und solche zweiter Art, deren Meridianschnitt Teile der Rotationsachse umfaßt, wie es von \textit{P. Lévy} und \textit{G. Bouligand} für Zylinderflächen in verschiedenen Arbeiten durchgeführt worden ist. Ist \(M (r, \vartheta,z)\) ein veränderlicher Punkt, \(P (\bar r, \bar \vartheta, \bar z)\) ein fester Punkt, und sind \(m\), \(p\) die entsprechenden Punkte desselben Parallelkreises auf dem Nullmeridian, so ergibt sich für die Flächen erster Art: \[ G (M, P) = \frac {a_0}2+\sum_{\nu=1}^\infty a_\nu\cos\nu\vartheta+b_\nu\sin\nu\vartheta, \] wobei \[ a_\nu=\frac2\pi(r\bar r)^{-\frac12}\cos\nu\vartheta\cdot g(m,p;\nu^2), \;b_\nu=\frac2\pi(r\bar r)^{-\frac12}\sin\nu\vartheta\cdot g(m,p;\nu^2) \] ist und \(g (m, p; \nu^2)\) eine Lösung der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+ \frac1r\frac{\partial u}{\partial r}+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=\frac{\nu^2}{r^2}u^2 \] darstellt, die auf dem Nullmeridian verschwindet und für \(m\to p\) eine logarithmische Unstetigkeit besitzt. Bei der Übertragung auf den Fall der Rotationsflächen zweiter Art zeigt sich keine Schwierigkeit, da die geradlinigen Stücke der Rotationsachse als uneigentliche Mengen auftreten. Im dritten Teil der Arbeit zieht Verf. Folgerungen aus der Darstellung von \(G (M, P)\), die denen von \textit{Bouligand} für die zylindrischen Flächen analog sind.