On the necessary condition of Weierstrass in the multiple integral problem of the calculus of variations. I. (Q573498)

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Notwendigkeit der \textit{Weierstraß}-Bedingung bei dem Problem des Extrems eines \(n\)-fachen Integrals, in welchem \(p\) Funktionen mit ihren ersten Ableitungen stehen; Nebenbedingungen sollen nicht vorliegen. Sei die von den \(p\) Funktionen im \((n + p)\)-dimensionalen Raum bestimmte Mannigfaltigkeit mit \(S\), das Integral mit \(F(S)\) bezeichnet, so wird zuerst unter genauer Präzisierung des Ausdrucks ``die Folge \(S_\nu \) konvergiert gegen \(S\)'' die Formel bewiesen: \[ \lim [F(S_\nu )-F(S) \textstyle \int\limits_{S}\displaystyle {\mathcal E}dx_1\cdots dx_n]=0, \] falls alle \(S_\nu\) und \(S\) derselben \textit{Lipschitz}-Bedingung genügen. Hieraus ergeben sich dann Schlüsse über das Vorzeichen der \(\mathcal E\)-Funktion für ein ein Minimum lieferndes \(S\). Und zwar ergibt sich im allgemeinen Fall, daß \(\mathcal E\geqq 0\) ist bis auf die Punkte einer Nullmenge, wobei allerdings das in der \(\mathcal E\)-Funktion auftretende bewegliche Flächenelement nicht willkürlich ist, sondern das zugehörige Element von \(S\) in einem linearen \(R_{n-2}\) schneidet. Da dies für \(n = 1\) sowohl wie für \(p=1\) der allgemeine Fall ist, kommt man damit für Kurven und für Hyperflächen zu einem Ergebnis, das der \textit{Weierstraß}schen \textit{hinreichenden} Bedingung nahekommt. Schließlich wird noch das Analogon der \textit{Legendre}-Bedingung hergeleitet und bei \(\mathcal E\geqq 0\) die Halbstetigkeit von \(F(S)\) bewiesen.