Extréma liés. (Q573504)

Verf. verallgemeinert in interessanter Weise das Problem des gebundenen Extremums, das in seinem Buche ``Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes'' (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 431) behandelt worden ist, eine Funktion von \(n\) Variablen zu minimieren mit der Nebenbedingung, \(p\) andern Funktionen gegebene Werte zu geben; durch Einführung einer geeigneten Vektorsprache gelingt es, der Minimumsbedingung eine einfache geometrische Deutung zu geben und dadurch wie früher das gebundene an das freie Problem zu knüpfen. Das Maß eines Vektors \(x= (x^1, x^2,\dots, x^n)\) wird durch eine quadratische Form definiert: \(x^2=\bigl(g_{ij}x^ix^j\bigr)\), das skalare Produkt durch \[ xy=\bigl(g_{ij}x^iy^j\bigr). \] Es seien (\(\alpha \), \(\beta \),\dots, \(\varkappa\)) \(p\) linear unabhängige Vektoren von dem Punkte \(\xi =(\xi ^1,\dots,\xi ^n)\) aus; dieselben definieren einen \(p\)-Vektor in der \(p\)-Ebene mit den Punkten \[ y=\xi +a\alpha +\dots +k\varkappa ; \] das Maß \(\varDelta \) des \(p\)-Vektors ist gegeben durch \[ \varDelta ^2= \begin{vmatrix} \alpha ^2 &\alpha \beta &\cdots &\alpha \varkappa \\ \beta \alpha &\beta ^2 &\cdots &\beta \varkappa \\ \hdotsfor{4} \\ \varkappa \alpha &\varkappa \beta &\cdots &\varkappa ^2 \end{vmatrix}; \] \(\varDelta ^2\) verschwindet, wenn es eine gemeinsame Perpendikuläre gibt: \[ \omega =a\alpha +b\beta +\dots +k\varkappa ; \] \(\omega ^2\) ist dann gleich Null. Es wird der Vektor \(x-\xi \) hinzugefügt; das Quadrat des Maßes des \((p + 1)\)-Vektors (\(x -\xi \), \(\alpha \), \(\beta \), \dots, \(\varkappa \)) heiße \(D^2\); die Perpendikuläre von \(x\) auf die \(p\)-Ebene (\(\alpha \), \(\beta \), \dots, \(\varkappa \)) trifft diese in \(y\); es ist dann \[ (x-y)^2=\frac{D^2}{\varDelta ^2}. \] Das gebundene Extremumproblem läßt sich so aussprechen: Es seien die \(p + 1\) Funktionen \(f\), \(f^1\), \(f^2\), \dots, \(f^p\) gegeben; es ist eine Funktion \(\varPhi (f^1, \dots,f^p)\) in der Weise zu finden, daß die Funktion \(f-\varPhi (f^1, \dots,f^p)\) das Minimum 0 hat für alle Wertesysteme der Funktionen \(f^1\),\dots, \(f^p\). Hieraus findet man (indem das Differenzieren mit unteren Indices bezeichnet wird) für die unbekannten Koordinaten (\(x^1\), \dots, \(x^n\)) und die unbekannten Funktionen \(\varPhi _1\),\dots, \(\varPhi _p\) die Gleichungen \[ f_i-\bigl(\varPhi _1f_i^1+\dots +\varPhi _pf_i^p\bigr)=0 \qquad(i=1,2,\dots,n); \] diesen Gleichungen muß auf einer möglichst großen \(x\)-Menge genügt werden, zu welchem Zweck man versucht, \(\varPhi _1\), \(\varPhi _2\), \dots, \(\varPhi _p\) durch beliebige Werte zu ersetzen: \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(*)} \hfill f_i(x)-\textstyle \sum\limits_{j=1}^{p} \displaystyle \lambda _jf_i^j(x)=0\qquad(i=1,2,\dots,n). \hfill} \] Die \(\lambda \) sind also die \textit{Lagrange}schen Multiplikatoren des freien Problems. Um die Bedingungen zweiter Ordnung zu erhalten, knüpft Verf. an eine geometrische Deutung des bekannten Problems an, die extremale Ungleichheit zwischen der quadratischen Form \(\bigl(a_{ij}x^ix^j\bigr)\) und der Einheitsform \((x^ix^i)\) zu finden. Es sei im Intervall \(l_i<\lambda <L_i\) eine differenzierbare Lösung der Gleichungen (*): \[ x^i=\xi ^i(\lambda _1,\dots,\lambda _p)\qquad(i=1,2,\dots,n); \] die Vektoren (\(\alpha \), \(\beta \), \dots, \(\varkappa \)), wo z. B. \[ \beta =\bigl(\beta ^1,\dots,\beta ^n\bigr)= \biggl(\frac{\partial \xi ^1}{\partial \lambda _2},\dots, \frac{\partial \xi ^n}{\partial \lambda _2}\biggr), \] bilden einen \(p\)-Vektor und definieren eine \(p\)-Ebene \(\varXi \), die Tangentenebene der Mannigfaltigkeit (\(\xi ^1\),\dots, \(\xi ^n\)); es wird \(\varXi \) die stationäre Mannigfaltigkeit genannt. Durch Einsetzen der gefundenen Werte \(x^i\) werden \(f\), \(f^1\),\dots, \(f^p\) in Funktionen der \(\lambda _1\), \(\lambda _2\), \dots, \(\lambda _p\) verwandelt, und umgekehrt werden hierdurch \(\lambda _1\),\dots, \(\lambda _p\) in Funktionen von \(f^1\),\dots, \(f^p\) verwandelt; d. h: \[ f\bigl(\xi ^1(\lambda ),\dots,\xi ^n(\lambda )\bigr)= \varPhi\, \bigl\{f^1\bigl(\xi ^1(\lambda ),\dots,\xi ^n(\lambda ) \bigr),\dots,f^p\bigl(\xi ^1(\lambda ),\dots,\xi ^n(\lambda ) \bigr)\bigr\}, \] also \(f-\varPhi (f^1,\dots,f^p)=0\) auf \(\varXi \), und außerdem findet man \(\varPhi _i=\lambda _i\) (\(i = 1\), 2,\dots, \(n\)). Aus den zweiten Ableitungen \(g_{ij}\) der Funktion \[ g(x)=f(x) \textstyle \sum\limits_{j=1}^{p} \displaystyle \lambda _j\,f^j(x) \] wird für jeden Punkt \(\xi \) von \(\varXi \) die quadratische Form \(\varphi (x)=\bigl(g_{ij}(\xi )\,x^i\,x^j\bigr)\) gebildet, um eine vektorielle Metrik zu definieren. Um nun eine hinreichende Minimumsbedingung der Funktion \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(**)} \hfill z(x)=f(x)-\varPhi \{f^1(x),\dots,f^p(x)\} \hfill} \] auf \(\varXi \) zu finden, wird \(z(x)\) in der Umgebung von \(\xi \) nach \(x-\xi \) entwickelt; man findet dann \[ \begin{gathered} z(x)=\tfrac{1}{2}(x-\xi )^2-\tfrac{1}{2}\, \bigl\{\varPhi _{11}\bigl(\alpha (x-\xi )\bigr)^2+ 2\varPhi _{12}\bigl(\alpha (x-\xi )\bigr)\bigl(\beta (x-\xi )\bigr)+ \cdots\bigr\}+\cdots\\ \text{oder} f(x)-\varPhi \bigl(f^1(x),\dots,f^p(x)\bigr)=\frac{1}{2} \frac{D^2}{\varDelta ^2}+\cdots;\end{gathered} \] \(z(x)\) ist also wesentlich die Hälfte des Quadrats des Abstandes des Punktes \(x\) von der \(p\)-Tangentenebene des Punktes \(\xi \) von \(\varXi \); \(\dfrac{1}{2}\dfrac{D^2}{\varDelta ^2}\) ist Null für \(x = \xi \), wo \(f-\varPhi \) selbst Null ist, aber auch noch, wenn \(x\) der Tangentenebene von \(\varXi \) im Punkte \(\xi \) angehört; in diesem Fall gibt es aber in der Umgebung auf \(\varXi \) Punkte \(\xi '\), deren Tangentenebene nicht durch \(x\) geht; man kann alsdann eine Entwicklung von \(z\) nach \(x - \xi '\) gebrauchen. Im Falle, wo \(\varphi (x)\) eine positiv \textit{definite} Form ist, gibt es eine Umgebung von \(\varXi \), wo die durch (**) gegebene Funktion \(z(x)\geqq 0\) ist, und das \(=\) für \(\varXi \) gültig ist; wenn also das freie Problem eine Lösung hat, dann auch das gebundene. Ist \(\varphi (x)\) dagegen \textit{indefinit}, das freie Problem also ohne Lösung, so stellt die Gleichung \(\varphi(x - \xi ) = 0\) eine Kegelfläche von \(n-1\) Dimensionen dar, durch welche der Raum geteilt wird; der Term \(\dfrac{1}{2}\dfrac{D^2}{\varDelta ^2}\) ist noch positiv, wenn die ``Normalen-(\(n-1\))-Ebene'' im Punkte \(\xi \) der Mannigfaltigkeit \(\varXi \) der positiven Seite der Kegelfläche angehört; in diesem Falle ist noch \(z(x)\geqq 0\) in einer Umgebung auf \(\varXi \) erfüllt. Im Falle \(p = 1\) werden verbesserte Ungleichungen angegeben. -- In einer entsprechenden Weise werden die gebundenen Extremumsprobleme der Variationsrechnung, d. h. die isoperimetrischen Probleme, behandelt.