The problems of Lagrange and Mayer with variable end points. (Q573511)

Für das verallgemeinerte \textit{Lagrange}-Problem \[ I=\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} \displaystyle f(x,y,y')\,dx+\theta (\alpha _1,\dots,\alpha _r)=\; \text{Extrem } \] mit den Bedingungsdifferentialgleichungen \[ \varphi _\beta (x,y,y')=0\quad(\beta =1,2,\dots,m) \] sowie den Randbedingungen \[ x_s=x_s(\alpha _1,\dots,\alpha _r),\,y_i(x_s)= y_i^s(\alpha _1,\dots,\alpha _r)\quad (i=1,2,\dots,n; s=1,2) \] wird nach Methoden von \textit{Bliss} und \textit{Morse} die Theorie der Bedingungen erster Ordnung gegeben. Das Zusatzglied \(\theta (\alpha_1,\dots, \alpha _r)\) wird zu dem Zweck eingeführt, um die gewonnenen Ergebnisse auf die Behandlung der zweiten Variation anwenden zu können. Hervorzuheben ist besonders die einfache Form der Transversalitätsbedingung: \[ \bigl[F^s\,dx_s+F_{y'i}^s(dy_i^s {\overline{y}'}_i^s\,dx^s)\bigr]_{s=1}^{s=2}+\lambda _0\,d\theta =0, \] die als Identität in den \(d\alpha _i\) aufzufassen ist, also in \(r\) Gleichungen zerfällt. \(F\) ist \(\lambda _of+\lambda _\varrho f_\varrho \) (die \(\lambda \) sind die Multiplikatoren des Extremalenbogens \(E\), der untersucht wird, \(\overline{y}_i^\prime\) die Ableitungen der \(y_i\) längs \(E\)). Auch die Normalität eines zulässigen Bogens bezüglich der \textit{Lagrange}schen Gleichungen und der Transversalitätsbedingung wird eingehend untersucht, und die Ergebnisse werden in anschaulicher Form (durch Aussagen über die Dimensionszahl eines linearen Raums) gedeutet.