Vorlesungen aus dem Gebiete der angewandten Mathematik. Bd. I: Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Statistik und theoretischen Physik. (Q573560)

Daß die Wahrscheinlichkeitsrechnung heute ein viel größeres Interesse hat als früher, ist gewiß hauptsächlich das Verdienst des Verf. Vor den grundlegenden Arbeiten des Verf. war es nicht klar, was gemeint war, wenn man von der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses redete. Man hatte mehrere verschiedene Begriffe und nahm den bequemsten zur Hand, ohne sicher zu sein, wie weit die benutzten Begriffe übereinstimmten. Die Beseitigung dieses Zustandes ist fast allein das Verdienst des Verf. In dem vorliegenden Buche hat der Verf. natürlich die Wahrscheinlichkeitsrechnung nach seinen grundlegenden Arbeiten aufgebaut. Dieser allgemeine Teil steht im ersten Abschnitt. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff wird in zwei Axiomen festgelegt. Das Kollektiv hat erstens Limites der relativen Häufigkeiten der Merkmale, das sind die Wahrscheinlichkeiten der Merkmale. Außerdem genügen die Kollektivs dem Regellosigkeitsaxiom, dessen Idee allein vom Verf. herrührt. Es wird hier verlangt, daß jede Teilfolge eines Kollektivs, welche ausgewählt wird ohne Benutzung der Merkmale der auszuwählenden Elemente, die gleichen Wahrscheinlichkeiten aufweist wie das ursprüngliche Kollektiv. Aus diesem zweiten Axiom wird vom Verf. die Folgerung gezogen, daß es unmöglich ist, ein Beispiel für ein Kollektiv mathematisch zu konstruieren. Es ist darum unmöglich, für Kollektivs einen mathematischen Existenzbeweis zu führen. Zuweilen wird die Theorie des Verf. aus diesem Grunde abgelehnt. Referent möchte daher zur Konstruktion von Beispielen für abstrakte Theorien folgendes bemerken: Hat man Beispiele bekannter Dinge für neue Theorien abstrakter Dinge angegeben, so folgt aus diesem ``Widerspruchsfreiheitsbeweis'' nur, daß die anangegebenen Dinge -- von weiteren weiß man es nicht -- die Theorie erfüllen. Zieht man über diese Dinge keine neuen Folgerungen auf Grund der neuen Theorie, so ist ein solcher ``Widerspruchsfreiheitsbeweis'' vorläufig ohne Nutzen, es sei denn, zur Erläuterung der Theorie. Vom Standpunkt der Anwendungen sind Kollektivs ideale Dinge. Sätze über solche haben in der Anwendung keinen Inhalt. Vielmehr sind sie Rezepte, wie man für abbrechende Folgen, die sich kollektivähnlich verhalten, Sätze, dann mit wirklichem Inhalt, gewinnt. Vom Standpunkt der Anwendungen ist es also allein die Frage: Geben die Sätze über unendliche Folgen Rezepte zur Herstellung von Sätzen über endliche Folgen? Daß dies der Fall ist, zeigen viele Beispiele in dem vorliegenden Buche. Ein Mangel, der allen Begründungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung anhaftet, ist der, daß nicht immer genügend klar ist, wann eine abbrechende Folge kollektivähnlich ist, und nach Meinung des Ref. besteht ein Bedürfnis nach einer finitisierten Wahrscheinlichkeitsrechnung. Einwände bestehen also vom Standpunkt der Anwendungen nicht in dem Mangel des Widerspruchsfreiheitsbeweises für die Kollektivs als unendliche Folgen, sondern sie könnten höchstens bei der Finitisierung, dem Übergang zu endlichen Folgen, liegen. Allein hier wird mit Recht die Anwendbarkeit gefordert. Es sei erwähnt, daß -- gar nicht stichhaltige -Einwände auf Grand des Gesetzes der großen Zahlen durch einfachste Beispiele durchschlagend in einer Arbeit des Verf. (1933; F. d. M. \(59_{\text I}\), 508) widerlegt werden. Nachdem im ersten Abschnitt die Grundlagen entwickelt worden sind, die alle auf Begriffen des Verf. beruhen, werden im zweiten Abschnitt die Grenzwertsätze auf Grund früherer Arbeiten des Verf. entwickelt. Der Inhalt der Sätze wird in ihrer wirklichen Bedeutung klar angegeben. Der größere Teil des Buches umfaßt und erledigt wirklich die Anwendungen, der dritte Abschnitt Statistik und Fehlertheorie, darin unter anderm \textit{Bruns}sche und \textit{Charlier}sche Reihen sowie die \textit{Lexis}sche Dispersionstheorie, der vierte und letzte Abschnitt die physikalische Statistik, darin unter anderm Strahlungstheorie bis zur Quantentheorie, \textit{Brown}sche Bewegung, radioaktive Strahlung, Wahrscheinlichkeitsnachwirkung, Ergodenproblem. Am Schlusse jedes Abschnitts stehen sehr schöne Aufgaben, die zum größten Teil nicht den im Ernstfalle unnützen Glücksspielen entnommen sind, und die bei genügendem Fleiß das Verständnis der Abschnitte garantieren. (VII 1.) Besprechungen: Philos. Magazine (7) 13 (1932), 528-529. H. Margenau; Bulletin A. M. S. 38 (1932), 169-170. O. Pankraz; Časopis 61 (1932), 362-363. E. Kamke; Jahresbericht D. M. V. 42 (1932), 56-58 kursiv. E. Helly; Monatshefte f. Math. 39 (1932), 43-45 kursiv. E. Zilsel; Naturwissenschaften 20 (1932), 472-473. R. Fürth; Physikal. Z. 33 (1932), 780-781. R. Braunschweig; Z. f. math. Unterricht 63 (1932), 251-252. O. Anderson; Z. f. Nationalökonomie 5 (1931), 277-280. H. Carsten; Z. f. techn. Physik 13 (1932), 206. A. Kolmogoroff; Zentralblatt 2 (1932), 277-278.