Su di una variabile casuale connessa con un notevole tipo di partizione di un numero intero. (Q573590)

Verf. berechnet die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(p_{n,N}(y)\) der Summe \[ y = x_1 + x_2 + \cdots + x_n, \] wobei jede der einzelnen Zufallsvariablen \(x_i\) die Werte \(1, 2,\ldots, N\) mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(\dfrac 1N\) annehmen kann. Für größere \(N\) gibt er eine Näherungsformel an, die er im Anschluß an das von ihm früher behandelte analoge Problem für kontinuierliche Einzelwahrscheinlichkeitsverteilungen findet. Eine einfache Transformation dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung führt zu der folgenden, zahlentheoretisch sehr interessanten Formel: Bedeutet \(P_{n,N}(k)\) die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, die für die Zerlegung einer positiven ganzen Zahl \(k\) in \(n\) positive ganze Zahlen, von denen keine größer als \(N\) sein darf, vorhanden sind, so folgt für große \(N\): \[ P_{n,N}(k)\approx\frac{N^{n-1}}{(n-1)!}B_s^{n-1}(\theta) \] mit \[ s=\left[\frac{2k-n}{2N}\right],\;\theta=\frac{2k-n}{2N}-s, \;B_s^{n-1}(\theta)=\sum_{r=0}^s(-1)^r\binom nr(s-r+\theta)^{n-1}. \] Ist außer \(N\) auch noch \(n\) groß, so gilt die wesentlich einfachere Formel: \[ P_{n,N}(k)\approx N^{n-1}\sqrt{\frac{6}{\pi n}}\exp \left(-\frac3{2n}\left(\frac{nN-2k+n}{N}\right)^2\right). \] Die Genauigkeit dieser Näherungsformeln wird an Beispielen gezeigt. (III 6.)