Formules relatives au jeu de pile ou face. (Q573600)

Eine kurze Zusammenfassung der Resultate der nachstehend besprochenen Arbeit. Verf. behandelt zunächst einen Sonderfall des Schrift- oder Bild-Spiels: Die Partie soll abgebrochen werden, wenn der Gewinn sich wieder zu verringern beginnt. Die Überlegungen führen auf ein Zahlendreieck \(\varDelta\), das dem \textit{Pascal}schen Dreieck \(D\) sehr ähnlich ist. Die Wahrscheinlichkeit \(A_p\), daß die Partie \(2p\) Würfe überschreitet, ohne daß sich der Gewinn zu verringern beginnt, geht mit wachsendem \(p\) gegen Null. Die Beziehungen zwischen dem \textit{Pascal}schen Dreieck \(D\) und dem vorliegenden \(\varDelta\) werden angegeben. Weiter untersucht Verf. den Fall, daß einer der beiden Spieler nur über einen beschränkten Einsatz \(N\) verfügt. Die Bildungsgesetze der betreffenden Zahlendreiecke \(\varDelta^{(N)}\) werden behandelt. Dann wird gezeigt, daß der größte Gewinn, der im Verlauf der Partie auftritt, und der absolute Betrag des Endgewinns asymptotisch dem gleichen Wahrscheinlichkeitsgesetz unterliegen, nämlich \(\sim\sqrt{\dfrac 2\pi}\int\limits_y^\infty \exp\left(-\dfrac{u^2}2\right)du\). Zum Schluß untersucht Verf. die Wahrscheinlichkeit, daß der höchste im Spielverlauf auftretende Gewinn dem absoluten Betrag nach größer oder gleich einer festen Zahl \(N\) wird. Nebenbei ergibt sich, analog der bekannten \textit{Jacobi-Riemann}schen Formel: \[ \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\exp\left(-(2n+1)^2\dfrac{\pi^2}{8y^2}\right)= \sqrt{\frac\pi2}\left(\int\limits_0^y \exp\left(-\frac{u^2}2\right)du+ \sum_{n=1}^\infty\int\limits_{n_1}^{n_2} \exp\left(-\frac{u^2}2\right)du\right); \] dabei ist \(n_1=(4n-1)y\), \(n_2=(4n+1)y\). Die Überlegungen werden im allgemeinen nur skizziert.