Distribution of the means of samples of \(n\) drawn at random from a population represented by a Gram-Charlier series. (Q573667)

Verf. beweist durch vollständige Induktion folgenden Satz: Ist eine Verteilung durch die m - l ersten Glieder der \textit{Gram-Charlier}schen Reihe darstellbar, d. h. ist \[ f (x) = a_0\varPhi_0(x) + a_3\varPhi_3(x)+\cdots+a_m\varPhi_m(x), \] wobei \[ \varPhi_i(x)=\dfrac{d^i(\exp(-\frac12x^2))}{dx^i} \] ist, so verteilen sich die Mittelwerte von Stichproben von der Größe \(n\) proportional zu \[ \sum\frac{n!}{\nu_0!\,\nu_3!\,\cdots\, \nu_m!}a_0^{\nu_0}a_3^{\nu_3}\cdots a_m^{\nu_m} \frac{d^{m\nu_m+\cdots3\nu_3}\left(\exp\left(-\dfrac n2x^2\right)\right)} {d(nx)^{m\nu_m+\cdots+3\nu_3}}, \] wobei sich die Summation über alle ganzzahligen Lösungen von \[ \nu_0+\nu_3+\nu_4+\cdots+\nu_m=n \] erstreckt.