Equimodal frequency distributions. (Q573682)

Die \textit{Pearson}schen Verteilungsfunktionen kann man am einfachsten aus der Differentialgleichung \[ \frac{dy}{dx}=\frac{(x-c)y}{f(x)} \] mit \[ f (x) = c_0+c_1x+c_2x^2 \] gewinnen (vgl. z. B. \textit{W. P. Elderton}, 1927; F. d. M. 53, 510 (JFM 53.0510.*) und \textit{v. Mises} (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 605-606, S. 269 ff. des dort besprochenen Buches). Verf. verallgemeinert diesen Ansatz, indem er für \[ f (x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 \] annimmt, und bestimmt ferner, daß \(c\) der ``mode'' (häufigster Wert) der gegebenen Verteilung ist. Die Koeffizienten \(c_\nu\) ergeben sich nach Multiplikation von \[ f(x)\frac{dy}{dx}=(x-c)y \] mit \(x^n\) und direkter Integration aus der Gleichung \[ nc_0\mu_{n-1}'+(n+1)c_1\mu_n'+(n+2)c_2\mu_{n+1}'+(n+3)c_3\mu_{n+2}'= c\mu_n'-\mu_{n+1}', \] wobei \[ \mu_n'=\int yx^n dx \] ist. Setzt man hierin \(n = 0, 1, 2, 3\), so erhält man ein System linearer Gleichungen zur Bestimmung der \(c_\nu\). Verf. diskutiert die möglichen Lösungen nach der folgenden Einteilung: Klasse A: \(f(x)\) hat nur reelle und ungleiche Wurzeln; Klasse B: \(f(x)\) hat imaginäre Wurzeln; Klasse C: \(f(x)\) hat mindestens zwei gleiche reelle Wurzeln.