Der Stieltjessche Integralbegriff und seine Verwertung in der Versichenmgsmathematik. I, II. II: Drei Integralgleichungen für das Deckungskapital einer allgemeinen Personenversicherung. (Q573745)

\textbf{I.} Zunächst wird in elementarer Weise, ohne die Kenntnis der Differential- und Integralrechnung vorauszusetzen, der Begriff des \textit{Stieltjes}schen Integrals \[ \int_a^b \varphi(t) ds(t) \tag{1} \] hergeleitet. Dieses existiert, wenn \(\varphi(t)\) im Intervall \(\langle a,b\rangle\) stetig, \(s(t)\) im gleichen Intervall monoton und endlich ist, und es gelten dafür eine Reihe von Sätzen, die bekannten Sätzen über das gewöhnliche bestimmte Integral analog sind. Das Integral (1) wird finanztechnisch gedeutet. Mit seiner Hilfe kann die Einmalprämie für die kurze \(p\)-jährige Todesfallversicherung des \(y\)-jährigen auf Grund einer Selektionssterbetafel mit den Zahlen \(l_{[y]+t}\) der Lebenden und des Diskontierungsfaktors \(v\) in der Form \[ {}_{| p}{\overline{A}}_{[y]} = \dfrac{1}{l_{[y]}} \int_0^p v^td(l_{[y]} l_{[y+t]}) \tag{2} \] dargestellt werden, ohne daß dabei von \(l_{[y]+t}\) mehr vorausgesetzt werden muß, als daß es, wie selbstverständlich, monoton abnimmt. Bei Voraussetzung der Stetigkeit kann (2) durch partielle Integration umgeformt werden. Für \(p = \omega - y\) erhält man die lebenslängliche Todesfallversicherung. Auch das gewöhnliche bestimmte Integral \(\int_a^b\varphi(t) dt\) wird in verschiedener Weise finanztechnisch gedeutet, insbesondere auch als Summe der Einnahmen aus einer Rente von der Intensität \(\varphi (t)\) in der Zeit \(\langle a, b\rangle\). Damit kann nun auch die vom Verf. bereits früher (1917; F.\,d.\,M. 46,790 (JFM 46.0790.*)) untersuchte allgemeine Versicherung mit \(n\) einander gegenseitig ausschließenden Ausscheidegründen behandelt werden, wenn nur vorausgesetzt wird, daß die Intensitäten \(P_{[y]+t}\) und \(S_{[y]+t}\) der Prämien- bzw. Rentenzahlungen, ferner die bei durch den \(i\)-ten Grund veranlaßtem Ausscheiden im Alter \(y+t\) zu zahlenden Summen \(U_{[y]+t}^{(i)}\), sowie schließlich auch \(l_{[y]+t}\) selbst stetige Funktionen der Zeit sind. Das Deckungskapital kann in retrospektiver und in prospektiver Form dargestellt werden, wovon die erste hier angegeben sei: \[ \begin{aligned} {}_tV_{[y]}\,l_{[y]+t}\,v^t = &\int_0^t P_{[y]+\tau}\, l_{[y]+\tau}\, v^\tau d\tau - \sum_{i=1}^n \int_0^t U_{[y]+\tau}^{(i)}\,v^\tau df_{[y]+\tau}^{(i)} \\ &- \int_0^t S_{[y]+\tau}\, l_{[y]+\tau}\, v^\tau d\tau + l_{[y]}\, {_0}V_{[y]}. \end{aligned} \tag{3} \] Dabei bedeutet \(f_{[y]+t}^{(i)}\) die Anzahl der während der Altersspanne \((y, y + t)\) aus dem \(i\)-ten Grund ausgeschiedenen Personen. Hieraus wird auch leicht die Einmalprämie für die allgemeine Versicherung gewonnen. Setzt man schließlich noch die Differenzierbarkeit der Funktionen der Ausscheideordnung voraus, so erhält man die lineare inhomogene Differentialgleichung, welcher das Deckungskapital genügt, und die bei der nunmehr möglichen Einführung der Ausscheideintensitäten in die Form übergeht, in welcher sie aus der oben zitierten Arbeit des Verf. bekannt ist. Mit Recht bezeichnet Verf. ihr gegenüber die Formel (3) als ``die Urquelle der mathematischen Bestimmung des Deckungskapitals'', weil sie ganz wesentlich geringere Voraussetzungen über die Ausscheideordnung erfordert als jene Differentialgleichung. \textbf{II.} In der zweiten Abhandlung wird demgegenüber gezeigt, daß sich ohne Voraussetzung der Differenzierbarkeit der Funktionen der Ausscheideordnung drei Integralgleichungen konstruieren lassen, welche durch das Deckungskapital befriedigt werden. Zu den ursprünglichen Voraussetzungen über \(\varphi(t)\) und \(s(t)\) tritt wesentlich nur die der Stetigkeit für \(s(t)\) hinzu. Außerdem wird noch von der einen oder andern der beiden Funktionen vorausgesetzt, daß sie in \(\langle a,b\rangle\) ihr Vorzeichen nicht ändert, und es sollen die weiterhin einzuführenden Funktionen \(\varrho(t)\) und \(\varphi_1(t), \varphi_2(t),\ldots,\varphi_\lambda (t)\) stetige, letztere überdies auch monotone Funktionen von \(t\) in \(\langle a,b\rangle\) sein. Unter den genannten, hier nicht im einzelnen zu präzisierenden Voraussetzungen gilt \[ \int_a^b \varphi(t) d\left(\dfrac{1}{s(t)}\right) = -\int_a^b \dfrac{\varphi(t)}{s(t)^2}\,ds(t); \] ferner genügt dann die durch die Relation \[ z(t)s(t) = \varphi_1(t) + \varphi_2(t) +\cdots+\varphi_\lambda (t) \] definierte Funktion \(z(t)\) der Integralgleichung \[ \begin{aligned} z + \int_a^t\dfrac{z}{s(t)}ds(t) = & \int_a^t\dfrac{1}{s(t)}d\varphi_1(t) + \int_a^t\dfrac{1}{s(t)}d\varphi_2(t) + \\ &+ \dots + \int_a^t\dfrac{1}{s(t)}d\varphi_\lambda (t) \\ &+ \dfrac{\varphi_1(a) + \varphi_2(a) + \dots + \varphi_\lambda(a)}{s(a)}; \end{aligned} \tag{4} \] weiter ist (1) eine stetige, bzw. stetige und monotone Funktion von \(t\) in \((a, b)\); schließlich existiert \[ \int_a^b \varrho(t) d\left(\int_a^t\varphi (\tau) ds(\tau)\right) \] und ist gleich \[ \int_a^b \varrho(t) \varphi(t) ds(t). \] Setzt man nun \[ s(t) = v^t, \qquad z(t) = l_{[y]+t}\cdot {_t}V_{[y]},\tag{\(\alpha\)} \] oder \[ s(t) = l_{[y]+t}, \qquad z(t) = v^t\cdot {_t}V_{[y]}, \tag{\(\beta\)} \] oder \[ s(t) = v^tl_{[y]+t}, \qquad z(t) = {_t}V_{[y]}, \tag{\(\gamma\)} \] so ist jedesmal \(z(t)s(t)\) gleich der rechten Seite von (3), deren einzelne Summanden also den Funktionen \(\varphi_1(t), \varphi_2(t),\ldots,\varphi_\lambda (t)\) in (4) entsprechen. Hieraus gewinnt man leicht nach (4) drei Integralgleichungen, denen das Deckungskapital genügt, und die also die Differenzierbarkeit der Funktionen der Ausscheideordnung nicht voraussetzen. Die ersten beiden davon werden versicherungstechnisch in einfacher Weise gedeutet. Sie alle drei haben entsprechend der Formel (3), welcher sie entspringen, retrospektiven Charakter. Ähnlich wie in der ersten Abhandlung aus (3) leicht eine hier nicht wiedergegebene prospektive Darstellung des Deckungskapitals gewonnen wird, werden auch aus den drei Integralgleichungen noch die entsprechenden Integralgleichungen prospektiven Charakters gewonnen, bei denen die auftretenden Integrale also statt von \(0\) bis \(t\) von \(t\) bis \(p\) erstreckt werden.