The application of least squares. (Q573999)

Soll durch die Punkte \((x_i, y_i)\) \ \((i =1,2,\dots, n)\) eine Kurve \[ y_i = f(x_i, a, b,c,\dots ) \] mit den zunächst noch unbekannten Parametern \(a, b,c,\dots\) nach der Methode der kleinsten Quadrate gelegt werden, so bestimmt man üblicherweise die plausibelsten Werte \(a^0, b^0,c^0,\dots\) für \(a, b,c,\dots\) und berechnet dann zu den \textit{fest vorgegebenen} \(x_i\) die ausgeglichenen Werte \[ y_i^0 = f(x_i^0, a^0, b^0,c^0,\dots ). \] Der Verf. betrachtet in der vorliegenden Arbeit die \(x_i\) und \(y_i\) auch als zufällige Größen und sucht sowohl für die Parameter \(a, b,c,\dots\) als auch für alle Beobachtungswerte \(x_i, y_i\) die plausibelsten Werte \(a^0, b^0,c^0,\dots, x_i^0, y_i^0\) nach der Methode der kleinsten Quadrate zu ermitteln. Dabei müssen natürlich für alle \(x_i^0\), und \(y_i^0\) die Gleichungen \[ f(x_i^0, a^0, b^0,c^0,\dots ) - y_i^0 = 0 \] erfüllt sein, die hier als Nebenbedingungen des Ausgleichsproblems auftreten. Dazu können noch weitere Relationen \(G(a^0,b^0,c^0,\dots) = 0\) zwischen den Parametern verlangt werden, z. B. wenn die Kurve durch feste Punkte gehen soll. Die Lösung des Problems, das allgemein für die \(q\)-te Dimension angesetzt wird, erfolgt mit Hilfe der \textit{Lagrange}schen Multiplikatorenregel und verläuft teilweise genau so wie die bekannte Korrelatenausgleichung von \textit{Gauß}. Die Methode wird an den Beispielen der Geraden und des Kreises erläutert. (IV 16.)