Projektive und nichteuklidische Geometrie. Bd. I: Projektive Geometrie in analytischer Behandlung nebst einem Einblick in die Grundlagen der Geometrie. Band II: Nichteuklidische Geometrie auf der Grundlage der projektiven Geometrie. (Q574170)

Der Verf., der als junger Göttinger Assistent die Vorlesungen \textit{Felix Kleins} über nichteuklidische Geometrie ausgearbeitet und ihre autographische Ausgabe (1. Aufl. 1892, 2. Aufl. 1893) besorgt hat, legt nun selbst eine umfassende Darstellung der nichteuklidischen Geometrie auf der Grundlage der projektiven Geometrie vor. Dazu wird im ersten Bande des Werks die projektive Geometrie ohne Benutzung des Parallelenaxioms, also unabhängig von der euklidischen Geometrie, aufgebaut; im zweiten Bande wird die nichteuklidische Geometrie behandelt. In der Anlage hat Verf. sich also durchaus den Ideen \textit{Klein}s angeschlossen; die Durchführung hat aber von ihm noch sehr viel eigene Arbeit erfordert. \textbf{I.} Nach einer Einleitung, in der kurz die Stellung der nichteuklidischen Geometrie in der Mathematik, Physik und Philosophie erörtert wird, wird im ersten Teil die \textit{Entwicklung der Elementargeometrie als Fundament für den Aufbau der projektiven Geometrie} und im ersten Abschnitt dieses ersten Teils die axiomatische Grundlegung der Elementargeometrie gegeben. Verf. stellt die Hilbertschen Axiome der Verknüpfung und Anordnung, und zwar in der Fassung der vierten bis sechsten Auflage der ``Grundlagen der Geometrie.'' 4. Aufl. (1913; JFM 44.0543.02), 5. Aufl. (1922; JFM 48.0646.04), 6. Aufl. (1923), an die Spitze, und er macht nach einer vorläufigen Betrachtung des Parallelenaxioms, um Unterschiede zwischen den drei Geometrien (hyperbolische, euklidische, elliptische Geometrie) zu vermeiden, die Festsetzung, daß diese Axiome zunächst nur in einem begrenzten ebenen oder räumlichen Gebiet gelten sollen. In Abschnitt II werden ``Der Satz des Desargues, die Zentralkollineation und das vollständige Viereck'' behandelt. Der Satz des Desargues wird auch für zwei Dreiecke in derselben Ebene unter Benutzung des Raumes bewiesen, da ja nur die Anordnungs- und Verknüpfungsaxiome benutzt werden; die Beschränkung auf ein begrenztes Gebiet erfordert natürlich gewisse Vorsicht bei der Beweisführung. Dann werden, ähnlich wie bei Pasch, uneigentliche Elemente eingeführt, indem je zwei Geraden des begrenzten ebenen Gebiets, die sich in diesem nicht schneiden, einerlei ob sie außerhalb des Gebiets einen Schnittpunkt besitzen oder nicht, ein uneigentlicher Punkt als Schnittpunkt und je zwei (eigentlichen oder uneigentlichen) Punkten eine Verbindungsgerade zugeordnet wird. Diese Ergänzung des Ebenenstücks zur projektiven Ebene geschieht unter Zugrundelegung der von Verf. als ``Erweiterungsaxiom'' bezeichneten Annahme, daß je zwei Geraden nur einen eigentlichen oder uneigentlichen Schnittpunkt besitzen sollen. Die erforderlichen Konstruktionen werden sämtlich mit Hilfe des Desarguesschen Satzes ausgeführt. Die Einführung der uneigentlichen Ebenen wird hier nur andeutungsweise besprochen. Die Behandlung der Zentralkollineation und des vollständigen Vierecks (Erklärung harmonischer Punkte) bilden den Schluß dieses Abschnitts und des vorbereitenden ersten Teils. Zweiter Teil: \textit{Aufbau der projektiven Geometrie}. In Abschnitt III wird die ``Rein projektive Einführung eines ebenen Koordinatensystems'' vorgenommen. Der Gang ist der folgende: Konstruktion des Koordinatensystems für ganzzahlige Koordinaten \(x, y\) mit Hilfe der \textit{Möbius}schen Netzkonstruktion; Erweiterung des Koordinatensystems auf dyadisch-rationale Koordinaten; Einführung eines Stetigkeitsaxioms, und zwar des \textit{Dedekind}schen; dieses bildet zusammen mit den Axiomen der Verknüpfung und Anordnung die allein hier zugrundegelegten ``projektiven Axiome''; Erweiterung des Koordinatensystems auf dyadisch-irrationale Koordinaten. Nachdem so die Einführung projektiver Punktkoordinaten in der Ebene gelungen ist, handelt es sich in Abschnitt IV (Die Gleichung der Geraden, Linienkoordinaten) vor allem um den Beweis der Tatsache, daß jede eigentliche oder uneigentliche Gerade durch eine lineare Gleichung \[ \omega_1 \xi_1 + \omega_2\xi_2 + \omega_3 \xi_3 = 0 \tag{*} \] mit drei nicht sämtlich verschwindenden Konstanten \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\) dargestellt wird, und daß zwei Gleichungen (*) dann und nur dann dieselbe Gerade darstellen, wenn ihre Koeffizienten proportional sind. Der Satz wird mit Hilfe der Tatsache bewiesen, daß die harmonische Mitte zweier Punkte \(a, b\) der \(x\)-Achse, d. h. der vierte harmonische Punkt zu \(a, b, \infty\), die Abszisse \(\dfrac{a+b}{2}\) hat. Dann kann gezeigt werden, daß jeder Punkt der projektiven Ebene mit rationalen Koordinaten ``projektiv'', d.h. durch Aufsuchung von endlich vielen Schnittpunkten und Verbindungsgeraden, konstruiert werden kann -in Abschnitt III ist dies nur für die Punkte mit dyadisch-rationalen Koordinaten gezeigt worden --, und daß dies nur für die rationalen Punkte möglich ist. Schließlich wird hier das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden behandelt; die Haupteigenschaft, die Invarianz bei Projektion, wird aber erst in Abschnitt V (Koordinatentransformationen in der Ebene) hergeleitet. Da aus der Theorie der Determinanten, Matrizen und linearen Gleichungen nur geringfügige Kenntnisse vorausgesetzt werden, so gestaltet sich das Rechnerische hier etwas schwerfällig. Nachdem dann in Abschnitt VI die ``Projektiven Verwandtschaften'' in der Ebene und auf der Geraden, insbesondere auch die Involutionen im Punkt- oder Geradenbüschel, besprochen worden sind (hier spricht irreführend Verf., wie leider immer noch anzutreffen, von der ``parabolischen Involution'', obwohl in diesem entarteten Falle keine eineindeutige Abbildung, also keine projektive Abbildung und, nach der Definition des Verf., auch keine Involution vorliegt), kommt Verf. in Abschnitt VII zur ``Projektiven Theorie der Kegelschnitte''. Die Darstellung wahrt hier, insbesondere was die algebraische Seite angeht, nicht die Höhe des ganzen sonstigen Werks. Behandelt werden die allgemeine Gleichung für den Kegelschnitt und seine Tangenten, besondere Gleichungsformen für einen ein- und für einen nullteiligen Kegelschnitt, die projektive Erzeugung, die lineare Transformation eines einteiligen Kegelschnitts in sich, die projektiven Abbildungen der Ebene bei festem einteiligem Kegelschnitt, die Polarenverwandtschaft. Im Abschnitt VIII (Die Abbildung der projektiven Ebene in einem begrenzten Gebiet des Raumes) geht Verf. schwierigeren Untersuchungen nach, indem er sich an eine eigene Arbeit [Math. Ann. 92, 69--79 (1924; JFM 50.0372.01)] anschließt, aber im Gegensatz zu der Darstellung in der Arbeit sich nicht auf die euklidische Geometrie stützt. Hier werden die Abbildung der projektiven Ebene auf das Innere und den Rand eines Kegelschnitts, wobei zwei (in bezug auf einen festen inneren Punkt) diametrale Randpunkte zu identifizieren sind, ferner die eineindeutige Abbildung der projektiven Ebene auf die Kummersche und schließlich auf die Boysche Fläche [\textit{W. Boy}, Über die Curvatura integra und die Topologie geschlossener Flächen. Göttingen (1901; JFM 32.0488.02)] besprochen, wobei Verf. sich aber nicht an die Arbeit von Boy, sondern an seine eigene oben angeführte Arbeit anschließt, in der die Abbildung vereinfacht dargestellt worden ist. In diesem Abschnitt werden auch einige einfache Begriffe aus der Topologie der Flächen erörtert. Der Band wird abgeschlossen durch den Abschnitt IX: Ein anderes Erweiterungsaxiom. Nimmt man entgegen der in Abschnitt II getroffenen Festsetzung an, daß je zwei Geraden der Ebene sich in zwei Punkten schneiden, so gelangt man zu der biprojektiven Ebene, die sich eineindeutig auf die Oberfläche der euklidischen Kugel abbilden läßt. \textbf{II.} Im ersten Teil des zweiten Bandes werden (Abschnitt I-IV) die \textit{Grundlagen der nichteuklidischen Geometrie} entwickelt. Verf. nimmt (Abschnitt I) ``Die Axiome der Bewegung und ihre Folgerungen'' zum Ausgangspunkt. Als Axiome der Bewegung in der Ebene spricht er das ``projektive'' Axiom, welches besagt, daß die Bewegung eine projektive Abbildung ist, das Eindeutigkeitsaxiom und das Gruppenaxiom aus. Von diesen Axiomen gelangt Verf. zu der Umwendung um eine eigentliche Gerade und um einen eigentlichen Punkt, zum Senkrechtstehen, zum Begriff des Winkels und zur Lehre von der Kongruenz. Nun erst, im Abschnitt II ``Das Parallelenaxiom und das absolute Polarsystem, sowie der absolute Kegelschnitt in der euklidischen, elliptischen und hyperbolischen Geometrie'', spricht Verf. das Parallelenaxiom aus, und zwar in der folgenden Fassung, auf die er durch fortgesetzte Abtragung einer Strecke auf einer Halbgeraden geführt wird: Es soll genau eine der folgenden Aussagen gelten: Auf einer eigentlichen Geraden gibt es entweder keinen oder genau einen oder genau zwei unendlich ferne Punkte (Fall der elliptischen bzw. euklidischen bzw. hyperbolischen Geometrie). Dieses zunächst für eine Gerade ausgesprochene Axiom läßt sich sofort auf jede eigentliche Gerade übertragen. Verf. bespricht dann der Reihe nach die unmittelbaren Folgerungen, die sich aus dem Parallelenaxiom der euklidischen, elliptischen und hyperbolischen Geometrie ergeben. Für die drei Geometrien wird auch der absolute Kegelschnitt festgelegt, auf den man durch das bei der Umwendung um eine eigentliche Gerade erklärte ``absolute Polarsystem'' geführt wird; für die euklidische Geometrie ist das das Paar der ``Kreispunkte'', d. h. das konjugiert imaginäre Punktepaar \(x^2 + y^2 = 0\) auf der uneigentlichen Geraden \((s = 0)\), für die elliptische bzw. hyperbolische Geometrie der null- bzw. einteilige Kegelschnitt \[ x^2 + y^2 + \varkappa s^2 = 0 \quad \text{ bzw. } \quad x^2 + y^2 - \varkappa s^2 = 0. \] \(\varkappa\) ist in beiden Fällen eine positive Zahl, die das Maß der Abweichung des elliptischen bzw. hyperbolischen Parallelenaxioms von dem euklidischen angibt. Verf. spricht im elliptischen Falle von der Weltkonstante \(-\varkappa\), im hyperbolischen von der Weltkonstante \(+\varkappa\), und in beiden Fällen führt er die Weltkonstante durch ein Axiom ein. Die Behandlung der elementaren nichteuklidischen Geometrie wird in den beiden folgenden Abschnitten zu Ende geführt: In III ``Die Bewegungsgruppen in den drei Geometrien'' werden die Bewegungen, in IV wird ``Die Metrik, d. h. die Länge einer Strecke und die Größe eines Winkels, in den drei Geometrien'' näher untersucht. Als Einleitung wird in IV die euklidische Metrik in die projektive Geometrie eingeordnet, insbesondere also der Satz von \textit{Laguerre} über die Beziehung des euklidischen Winkels zu dem Doppelverhältnis der beiden den Winkel bildenden Geraden und der isotropen Geraden ihres Schnittpunktes, hergeleitet. Dann wird sehr ausführlich die hyperbolische und die elliptische Längen- und Winkelmessung besprochen. Bemerkenswert ist hier die Einführung der Weltmaßstrecke: Ausgehend von der Formel für die Länge einer Geraden in der elliptischen Geometrie, die sich allein durch die Weltkonstante \(\varkappa\) ausdrücken läßt, erklärt Verf. die Weltmaßstrecke dadurch, daß sie sich zur Länge der ganzen Geraden im elliptischen Fall wie \(1 : \pi\) im hyperbolischen Fall wie \(1 : i \pi\) verhält. Die Sätze über die Winkelsumme und der in der elliptischen und hyperbolischen Geometrie gültige Dreiwinkelkongruenzsatz bilden den Schluß des ersten Teils. Zweiter Teil: \textit{Höhere Gebiete der nichteuklidischen Geometrie}. In Abschnitt V behandelt Verf. die ``Kreistheorie'', in Abschnitt VI ``Das Bogenelement''; er geht hier auch auf die Gedanken ein, die \textit{Riemann} in seiner Habilitationsschrift entwickelt hat. Dann wendet er sich (Abschnitt VII) der ``Nichteuklidischen Trigonometrie'' zu. Hier beweist er zunächst, daß die geradlinige Strecke PQ die kürzeste unter allen Kurvenbögen \(PQ\) ist, für die elliptische Geometrie unter der Voraussetzung, daß die Länge der Strecke \(PQ\) die halbe Länge einer Geraden nicht übertrifft. Dann leitet er die Formeln der Trigonometrie her, die Sätze über den Inhalt von Dreiecken und Polygonen in der elliptischen und hyperbolischen Geometrie und die Formel für das Inhaltsmaß des Dreiecks; dieses ergibt sich als das Produkt aus dem Quadrat der Weltmaßstrecke und dem Exzeß bzw. Defekt des Dreiecks in der elliptischen bzw. hyperbolischen Geometrie. Ferner werden hier für die Sätze über den Inhalt zweifach und dreifach asymptotischer Dreiecke einfache Beweise vorgetragen und in Abschnitt VIII ``Umfang und Inhalt eines Kreises'' behandelt. Der Abschnitt IX ``Die Widerspruchslosigkeit der Axiome'' bringt die Darstellung grundsätzlich zum Abschluß, indem die Widerspruchslosigkeit der nichteuklidischen Geometrien auf die der euklidischen zurückgeführt wird. In den ``Schlußbemerkungen'' (Abschnitt X) wirft Verf. die Frage auf, welche der drei Geometrien im Weltenraum verwirklicht wird, und er teilt hierzu kurz einige Ergebnisse aus der Geodäsie, Astronomie und Kosmologie mit. Besprechungen: S. Lipka; Acta Szeged 6 (1932), 62-63. v. d. W.; Nieuw Archief 17 (1932), 192-195. E. G. Togliatti; Bollettino di Mat. (2) 11 (1932), XLIV-XLVI. H. F.; Enseignement 29 (1931), 371-372. L. Eckhart; Monatshefte f. Math. 39 (1932), 46-47 kursiv. T. Bonnesen; Mat. Tidsskrift B 1931, 33-39. S. Cohn-Vossen; Zentralblatt 1 (1931), 348.