Intersection complexes. I: Combinatory theory. (Q574227)

Kombinatorische Darstellung der Schnitttheorie von Komplexen in Mannigfaltigkeiten, wobei die Existenz zweier dualer Unterteilungen einer Mannigfaltigkeit nicht benutzt wird. Formale Hilfsmittel: Komplexe sind Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten in gewissen Unbestimmten \(\alpha, \beta, \dots\), den Eckpunkten; sie dürfen nach den üblichen Rechenregeln addiert und multipliziert werden, jedoch tritt an Stelle des kommutativen Gesetzes der Multiplikation: \[ \alpha \beta = -\beta \alpha \] (also \(\alpha\alpha = 0\)). \(C_m = \sum\limits_i x_i A_n^i\) bezeichnet einen homogenen Komplex; dabei stehen die \(A_n^i\) für Produkte der Form \(A_n = \alpha_0 \alpha_1 \dots \alpha_n\), die \(n\)-dimensionalen Simplexe. Die \(C_{-1}\) sind Konstanten; der Nullkomplex (alle \(x_i = 0\)) tritt für jede Dimension auf. -Das Produkt zweier eckenfremder Simplexe ist wieder ein Simplex, so daß man, wenn \(A_n = e A_k A_{n-k-1}\) \((e = \pm 1)\) ist, einen Quotienten \[ A_n/A_k = e A_{n-k-1} \] definieren kann; man setzt \(A_n/A_k = 0\), wenn eine Ecke von \(A_k\) nicht in \(A_n\) vorkommt. Der Rand von \(A_n\) wird dann \(\overset{\frown}{A}_n = \sum\limits_i A_n/\alpha_i\). Allgemein: \[ C_n/A_k = \sum_i x_i (A_n^i/A_k), \qquad \overset{\frown}{C}_n = \sum_i x_i \overset{\frown}{A}_n^i. \] \(A_k(C_n/A_k)\) ist der Stern von \(A_k\) in \(C_n\), \(C_n/A_n^i = x_i\) der Koeffizient von \(A_n^i\) in \(C_n\). Wenn für ein \(i\) \[ x_i (A_n^i/ A_k) \neq 0 \] ist, heißt \(A_k\) eine \(k\)-Komponente von \(C_n\); \(+1\) wird als einzige \((-1)\)-Komponente jedes von 0 verschiedenen \(C_n\) aufgefaßt. -- Außer dem Quotientenkalkül, der eine kurze und übersichtliche Schreibweise ermöglicht, wird der kombinatorisch leicht zu beschreibende Prozeß der baryzentrischen Unterteilung gebraucht, dessen \(s\)-mal wiederholte Anwendung auf \(C_n\) mit \({}^sC_n\) bezeichnet wird. Zyklen und Homologien werden wie üblich definiert. Für \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten \(M_n\) und Sphären \(\varPi_n\) wird die kombinatorische Definition benutzt: \(M_{-1} = \varPi_{-1} = \pm 1\), \(M_0 = \varPi_0 = \alpha\) oder \(\alpha - \beta\); ein zusammenhängender \(C_n\) ist eine \(M_n\), wenn \(C_n/\alpha\) für jede 0-Komponente \(\alpha\) eine \(\varPi_{n-1}\) ist, und insbesondere eine \(\varPi_n\), wenn außerdem in ihm jeder höchstens \((n-1)\)-dimensionale Zyklus berandet. Für jede \(k\)-Komponente \(A_k\) ist dann \(M_n/A_k\) eine \(\varPi_{n-k-1}\). Wenn auf \(M_n\) ein \(C_n\) so liegt, daß \(\overset{\frown}{C}_n\) auf \(\overset{\frown}{M}_n\) liegt (speziell: \(C_n\) ein Zyklus), so ist das Verhältnis \[ (C_n/A_n^i) : (M_n/A_n^i) = d \] unabhängig von der Wahl der \(n\)-Komponente \(A_n^i\) von \(M_n\), der ``Grad'' von \(C_n\) auf \(M_n\). Der Schnitt zweier Komplexe \(C_h, C_k\) auf einer \(M_n\) heißt \textit{normal}, wenn \(C_h\) und \(C_k\) keine gemeinsame \((h + k - n + 1)\)-Komponente haben. Wichtiger Hilfssatz: Wenn der Schnitt von \(\overset{\frown}{C}_h\) mit \(C_k\) auf \(M_n\) normal ist, so gibt es für passendes \(s\) auf \({}^sM_n\) einen Komplex \(C_h^*\), der dort zu \({}^sC_h\) homolog ist und mit \({}^sC_k\) normalen Schnitt hat. Die für die Schnitttheorie ``zulässigen'' Paare von Komplexen \(C_h, C_k\) auf \(M_n\) sind diejenigen, für die die Paare \(C_h, C_k\); \(\overset{\frown}{C}_h, C_k\); \(C_h, \overset{\frown}{C}_k\) sämtlich normalen Schnitt haben; ist \(h + k- n = -1\), so wird überdies \(M_n\) als \(\varPi_n\) vorausgesetzt. Für \(h + k - n = -1\) liegt vom geometrischen Standpunkt nicht mehr ein Schnitt, sondern der Fall der Verschlingung vor; aus der Zulässigkeitsbedingung folgt, daß \(C_h\) und \(C_k\), wenn sie beide \(\neq 0\) sind, Zyklen sind, deren Verschlingungszahl hier als \((-1)\)-dimensionaler Schnittkomplex auftritt. Die Beschränkung \(\gg M_n\) ist eine \(\varPi_n \ll\) wird dadurch bedingt, daß Verschlingungszahlen nur für berandende Zyklen definiert werden können, und stört bei der rekursiven Definition des Schnittkomplexes nicht, weil \(M_n/A_k\) \((k \geqq 0)\) immer eine Sphäre ist. Definition des Schnittkomplexes: Auf höchstens \((n -1)\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten sei der Schnitt eines zulässigen Paares von Komplexen schon definiert. Für zulässige \(C_h, C_k\) auf \(M_n\) wird der Schnittkomplex \((C_h \cdot C_k)_{M_n}\) von \(C_h\) und \(C_k\) auf \(M_n\) folgendermaßen bestimmt: (I) Für \(h + k - n \geqq 0\): \[ (C_h \cdot C_k)_{M_n}/A_{h+k-n} = (C_h /A_{h+k-n} \cdot C_k/A_{h+k-n})_{M_n/A_{h+k-n}}, \] d. h. der Koeffizient von \(A_{h+k-n}\) in \((C_h \cdot C_k)_{M_n}\) ist als Verschlingungszahl des (ebenfalls zulässigen) Paares \(C_h/A_{h+k-n}\), \(C_k/A_{h+k-n}\) in der weniger als \(n\)-dimensionalen Sphäre \(M_n/A_{h+k-n}\) definiert. (II) Für \(h+k- n = -1\), \(M_n = \varPi_n\): \ \ \ (a) Wenn \(C_h = 0\), setze man \((C_h \cdot C_{n-h-1})_{\varPi_n}=0\). \ \ \ (b) Wenn \(C_h \neq 0\) und \(h = -1\), setze man \((C_{-1}\cdot C_n)_{\varPi_n}= dC_n\), wobei \(d\) der Grad des Zyklus \(C_n\) auf \(\varPi_n\) ist. \ \ \ (c) Wenn \(C_h \neq 0\) und \(h \geqq0\), wähle man auf \({}^s\varPi_n\) einen von \({}^sC_{n-h-1}\) berandeten \(C_{n-h}^*\), der mit \({}^sC_k\) ein zulässiges Paar bildet (Anwendung des Hilfssatzes), und setze \[ (C_h \cdot C_{n-h-1})_{\varPi_n} = \overset{\frown}{({}^sC_h \cdot C_{n-h}^*)_{{}^s\varPi_n}}. \] (IIa) und (IIb) erledigen den Fall \(n = -1\) und bilden den Anfang der Rekursion; (c) führt die Verschlingungszahl in \(\varPi_n\) zurück auf einen Schnittkomplex in \(\varPi_n\) und damit auf eine Verschlingungszahl in einer Sphäre geringerer Dimension. (IIc) enthält eine Willkür in der Wahl von \(s\) und \(C_{n-h}^*\), die sich durch (I) auf andere Fälle überträgt. Der Eindeutigkeitsbeweis, der induktiv geführt wird, bildet die Hauptschwierigkeit. Im übrigen werden die bekannten Eigenschaften abgeleitet: Distributivität mit der Addition, Regel für Vertauschung von \(C_h\) und \(C_k\), Übergang zu homologen Zyklen, Assoziativität bei wiederholter Schnittbildung.