Über drei Fragen der abstrakten Topologie. (Q574234)

Es sei \(K\) ein \(n\)-dimensionaler Komplex mod 2 und \(K_1\) ein Teilkomplex. Verf. löst (1) die Aufgabe, aus den \textit{Betti}zahlen von \(K\) und \(K_1\) diejenigen von \(K - K_1\) (d. h. in \textit{Lefschetz}scher Sprache: von \(K\) mod \(K_1\)) zu berechnen. Sei (2) \(K_2\) ein zweiter Teilkomplex; \(h^\varrho, h_1^\varrho, h_2^\varrho, h_{12}^\varrho\) \((\varrho = 0, 1, \dots, n)\) seien die Bettizahlen von \(K_1 + K_2\), \(K_1\), \(K_2\), \(K_1 \cdot K_2\); \(\gamma^\varrho\) sei die Basiszahl der Zyklen \(C^\varrho \subset K_1 \cdot K_2\), die \(\sim 0\) in \(K_1\) und \(K_2\), aber \(\not\sim 0\) in \(K_1 \cdot K_2\) \((\gamma^{-1} = \gamma^n = 0)\); Verf. leitet nun auf eine neue, sehr durchsichtige Weise die Formel \[ h^\varrho = h_1^\varrho + h_2^\varrho - h_{12}^\varrho + \gamma^\varrho + \gamma^{\varrho-1} \tag{*} \] her (vgl. \textit{W. Mayer}, Monatshefte f. Math. 36 (1929), 1-42 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 963-964), insbesondere S. 40). Sind (3) die Teilkomplexe \(K_1\) und \(K_2\) bezüglich ihres Durchschnittes homöomorph, so berechnet Verf. die \textit{Betti}zahlen des Komplexes \(K^\prime\), der aus \(K\) durch Identifikation von \(K_1\) und \(K_2\) entsteht. Verf. behandelt diese drei Fragen nicht in einem gewöhnlichen Komplex \(K\), sondern im abstrakten Komplexring von \textit{W. Mayer} (l. c.), dessen Grundidee darin besteht, daß anstelle der Gruppen \(\mathfrak G^\varrho\) der \(\varrho\)-dimensionalen Teilkomplexe von \(K\) allgemein \(n\) kommutative Gruppen \(\mathfrak G^\varrho\) mit endlieber Basis betrachtet werden, wobei jedem Element \(K^\varrho \in \mathfrak G^\varrho\) ein Element \[ R(K^\varrho) \in \mathfrak G^{\varrho - 1} \] als Rand zugeordnet wird.