Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. (Q574240)

Zwei Abbildungen eines Komplexes \(A\) auf einen Komplex \(B\) heißen zur selben Klasse gehörig, wenn man sie stetig ineinander überführen kann. Eine Abbildung von \(A\) auf \(B\) heißt topologisch wesentlich, wenn bei jeder Abbildung der durch sie bestimmten Klasse die Bildmenge aus allen Punkten von \(B\) besteht. Der Hauptsatz der vorliegenden Arbeit lautet: Die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre \(S^3\) auf die zweidimensionale Sphäre \(S^2\) bilden unendlich viele Klassen. Dieser Satz enthält den folgenden: Die \(S^3\) läßt sich topologisch wesentlich auf die \(S^2\) abbilden. Der Hauptsatz folgt aus dem Satze, daß man jeder Abbildung f der \(S^3\) auf die \(S^2\) eine ganze Zahl \(\gamma(f)\) mit gewissen Eigenschaften zuordnen kann; \(\gamma(f)\) läßt sich geometrisch deuten als die Verschlingungszahl der Originalzyklen zweier beliebiger Punkte \(x, y\) von \(S^2\). Die obigen Sätze werden für gewisse Abbildungen beliebiger dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten auf die \(S^2\) verallgemeinert: Jede (geschlossene orientierbare) Mannigfaltigkeit \(M^3\) gestattet Abbildungen auf die \(S^2\), die zugleich algebraisch unwesentlich und topologisch wesentlich sind; ferner: Die algebraisch unwesentlichen Abbildungen einer beliebigen \(M^3\) auf die \(S^2\) bilden unendlich viele Klassen. Dabei heißt eine Abbildung \(f\) eines Komplexes \(A\) auf die \(n\)-dimensionale Sphäre \(S^n\) algebraisch wesentlich, wenn es eine ganze Zahl \(m > 1\) und in \(A\) einen \(n\)-dimensionalen Zyklus \(Z_m^n\) mod \(m\) gibt, dessen Bild \[ f(Z_m^n) \not\equiv 0 \bmod m \] ist. Die Begriffe der algebraischen und topologischen Wesentlichkeit und der Zusammenhang zwischen ihnen werden in einem Anhang noch genauer behandelt.