Une généralisation à \(n\) dimensions du dernier théorème de géométrie de Poincaré. (Q574257)

Es handelt sich um den folgenden Satz, der leicht zu beweisen, für \(m = 1\) fast trivial und dem berühmten \textit{Poincaré}schen Theorem nahe verwandt ist: Durch \[ x^\prime_i = (x_1,\dots, x_m), \quad y^\prime_i = (x_1, \dots, y_m) \quad (i =1,2,..., m) \] sei eine Transformation \(T\) des \(2m\)-dimensionalen Raumes gegeben, die den Nullpunkt festläßt und in seiner Umgebung regulär mit von 0 verschiedener Funktionaldeterminante ist; \(T\) sei ```konservativ'' in dem Sinne, daß eine Funktion \(I(x_1, \dots, y_m)\) mit \[ dI = \sum_{i=1}^m ((x_i^\prime dy^\prime_i - y_i^\prime dx^\prime_i) (x_idy_i - y_idx_i)) \] existiert; durch \[ r_i = f_i (\vartheta_1, \dots, \vartheta_m) \quad (i = 1, 2,\dots, m), \] wobei \(r_i\), \(\vartheta_i\) Polarkoordinaten in der \((x_i, y_i)\)-Ebene sind, ist eine \(m\)-dimensionale Fläche \(C\) gegeben; für jeden Punkt \(p \in C\) sei \[ \vartheta_i (p)= \vartheta_i (Tp) \quad (i =1,2,\dots, m). \] \textit{Dann gibt es auf \(C\) wenigstens \(2^m\) Fixpunkte von \(T\)}. Als Anwendung wird ohne Beweis ein Satz über die Existenz unendlich vieler periodischer Bewegungen eines dynamischen Systèmes von \(m + 1\) Freiheitsgraden angegeben, den Verf. früher nur für \(m = 1\) bewiesen hat.