Zur Imaginärgeometrie des Raumes. (Q574263)

In Analogie zu dem von Verf. in der Ebene verwendeten Verfahren (vgl. die in F.~d.~M. 57\(_{\text{I}}\), 346 besprochene Arbeit des Verf.) kann -- wieder nach einem schon von \textit{Study} angeregten Prinzip -- dem Punktepaar \(X_1(x_1,y_1,z_1), \, X_2(x_2,y_2,z_2)\) der Punkt \[ X(x_1+i x_2,\, y_1+i y_2,\, z_1+i z_2) \] zugeordnet werden. So erhält auch jeder imaginäre Punkt \(X(\mathfrak{x})\) die reelle Darstellung \(X_1(\mathfrak{x}_1), \, X_2(\mathfrak{x}_1+\mathfrak{x}_2)\), und das analytische Kurvenstück \(\varGamma\), gegeben durch die Vektorgleichung \(\mathfrak{x}=\mathfrak{x}(t)\), liefert für \(t=\alpha + i \beta\) die reellen Bildflächen \(\varPhi_1, \, \varPhi_2\) mit den Parameterdarstellungen \[ \mathfrak{x} = \mathfrak{x}_1(\alpha,\beta), \quad \mathfrak{x} = \mathfrak{x}_1(\alpha,\beta) + \mathfrak{x}_2(\alpha,\beta). \] \(\varPhi_1\) und \(\varPhi_2\) sind punktweise aufeinander bezogen; dasselbe gilt von den Flächen \[ \overline{\varPhi}_2: \, \mathfrak{x} = \mathfrak{x}_1(\alpha,\beta) - \mathfrak{x}_2(\alpha,\beta); \quad \varPhi^{*}_2: \, \mathfrak{x} = \mathfrak{x}_2(\alpha,\beta). \] Dabei sind stets Punkte der Kurve \(\varGamma\) mit reeller Tangentenrichtung auszuschließen. Für entsprechende Tangentialebenen und Flächenstücke der vier Bildflächen beweist Verf. jetzt eine Reihe von Sätzen, um anschließend \textit{Tissot}s Indikatrix und entsprechende orthogonale und isometrische Kurvenscharen auf den Bildflächen zu untersuchen. Dabei werden immer die isotropen Kurven des Raumes als Urbilder ausgeschlossen. Für die \textit{Gauß}schen Krümmungen der Bildflächen ergibt sich \[ K_1 = 2 K_2 = K^{*}_2 = 2 \overline{K}_2. \] Die Untersuchung der Haupttangentenpaare muß notwendig auch Geraden nichtreeller Richtung als Urbilder ausschließen. Den \textit{Dupin}schen Indikatrizen zugeordneter Punkte auf \(\varPhi_1, \varPhi_2, \varPhi^{*}_2, \overline{\varPhi}_2\) entsprechen in der \(t\)-Ebene gleichseitige Hyperbeln mit um je \(\dfrac{\pi}{8}\) verdrehten Hauptachsen. Weitere Ergebnisse liefert die Betrachtung homothetischer Transformationen \(\mathfrak{X}=e^{i \varphi} \mathfrak{x}\) der Urbildkurve. Von besonderem Interesse ist die reelle Darstellung der isotropen Kurven. Ihre \textit{Tissot}schen Indikatrizen auf den Bildflächen sind Kreise, ihre \textit{Dupin}schen Indikatrizen daher gleichseitige Hyperbeln und \(\varPhi_1, \varPhi_2, \varPhi^{*}_2, \overline{\varPhi}_2\) demnach Minimalflächen. Dabei entsprechen den Krümmungslinien von \(\varPhi_1\) (bzw. \(\varPhi_2\)) die Asymptotenlinien von \(\varPhi^{*}_2\) (bzw. \(\overline{\varPhi}_2\)) und umgekehrt. Die Parameter \(\alpha, \beta\) sind für alle Bildflächen isotherme Parameter. Ferner gilt: Die Bildflächen \(\varPhi_1\), \(\varPhi^{*}_2\) (und ebenso \(\varPhi_2\), \(\overline{\varPhi}_2\)) einer isotropen Kurve \(\varGamma\) sind aufeinander abwickelbar; \(\varPhi_1\) ist auf die im Verhältnis \(\sqrt{2}:\,1\) verkleinerte Fläche \(\varPhi_2\) abwickelbar. Die Bildflächen \(\varPhi_1\), \(\varPhi^{*}_2\) und \(\varPhi_2\), \(\overline{\varPhi}_2\) sind stetig ineinander verbiegbar. Von hier ergeben sich noch Beziehungen zur \textit{Bonnet}schen Theorie der assoziierten und adjungierten Minimalflächen.