Beiträge der Verbiegung von Hyperflächen in euklidischen Räumen. (Q574265)

Verf. erweitert zunächst das \textit{Janet}sche Existenztheorem im euklidischen \(R_n\) eingebetteter \textit{Riemann}scher Mannigfaltigkeiten \(F_l\) wie folgt: (1) In jedem \textit{Riemann}schen Raum mit einer positiv definiten, nichtausgearteten Maßform \(g_{ik} \, dx^i \, dx^k\) läßt sich jede \(l\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(F_l\) mit einer positiv definiten, nichtausgearteten Maßform reell einbetten, sofern nur \( {l+1 \choose 2} \leqq n\). (2) Das \textit{Janet}sche Differentialsystem \[ E_{r,s} = 0 \qquad \left( E_{r,s} \equiv (r;s) - a_{rs}, \, (r; s) \equiv \frac{\partial x^i}{\partial y_r}\, \frac{\partial x^i}{\partial y_s}; \, r,s=1, 2, \ldots, l \right) \] besitzt eine einparametrige kontinuierliche Schar \[ x^{(\alpha)}_i = x_i(y_1,y_2,\ldots, y_l, \alpha) \quad (1, 2, \ldots, n) \] von Lösungen, wenn \( {l+1 \choose 2} < n\) ist, wobei der Parameter \(\alpha\) alle Werte eines bestimmten Intervalls durchläuft. Ferner wird gezeigt: (3) Wenn der \(J_{12}\)-Raum der \(F_l\) \[ x_i = x_i(y_1,y_2,\ldots, y_l) \quad (1, 2, \ldots, n) \tag{*} \] mindestens \( {l+1 \choose 2}\)-dimensional, d. h. der \(J_2\)-Raum mindestens \( {l \choose 2}\)-dimensional ist, so läßt sich die \(F_l\) (*) im \(R_n\) \textit{einfach} verbiegen. (4) Eine \(F_l\) (*) im \(R_n\) kann nicht einfach verbogen werden, wenn \(n= {l+1 \choose 2}\) ist, und wenn bei der Verbiegung eine \(F_{l-1}\) der \(F_l\) starr bleibt, sofern diese \(F_{l-1}\) nicht Asymptotenhyperfläche der \(F_l\) oder von ausgeartetem \(J_2\)-Raum ist. (5) Jede \(F_l\) (*) läßt sich im \(R_n\) derart einfach verbiegen, daß dabei eine \(F_{l-2}\) der Hyperfläche \(F_{l-1}\) starr bleibt, sofern \(F_{l-2}\) nicht Asymptotenhyperfläche von \(F_{l-1}\) oder von ausgeartetem \(J_2\)-Raum ist. Sind die Mannigfaltigkeiten \(\overline{F_l}\), \(\overline{\overline{F}}_l\) im \(R_n \, \left( n \geqq { {l+1 \choose 2}} \right)\) \(L_1\)-abbildbar und ihre \(J_2\)-Räume \(m\)-dimensional, wobei \(m \geqq { {l \choose 2}}\), so gilt: (6) Die Mannigfaltigkeiten \(\overline{F}_l\) und \(\overline{\overline{F}}_l\) sind im \(R_n\) aufeinander einfach verbiegbar. (7) Zwei beliebige Mannigfaltigkeiten \(\overline{F}_l\) und \(\overline{\overline{F}}_l\) eines \(R_N\) können in einem \(R_{N_1}\) aufeinander verbogen werden, wenn \(N_1 \leqq N + { {l+1 \choose 2}}\) ist und \(\overline{F}_l\) und \(\overline{\overline{F}}_l\) \(L_1\)-abbildbar sind. (8) Jede \(F_l\) im \(R_n\), deren \(J_2\)-Raum \( {l \choose 2}\)-dimensional ist, kann man im \(R_n\) derart einfach verbiegen, daß jede beliebige \(F_r\) der \(F_l\), deren \(J_2\)-Raum nicht ausartet, und die keine Asymptotenhyperfläche der \(F_l\) ist, in eine beliebige vorgegebene \(\overline{F}_r\) übergeht, soweit die beiden \(F_r\), \(\overline{F}_r\) \(L_1\)-abbildbar sind \(\left( {r+1 \choose 2} \leqq l \right)\). Zur Terminologie sei hier noch bemerkt: Verf. nennt zwei Mannigfaltigkeiten \(\overline{F}_l\) und \(\overline{\overline{F}}_l\) \(L_k\)-abbildbar, wenn die zwischen ihnen bestehende eineindeutige stetige (topologische) Zuordnung \[ y_h = \varphi_h (z_1, z_2, \ldots, z_l) \quad (h=1, 2, \ldots, l) \] beiderseits Kurven gleicher Länge und von gleicher erster, zweiter, ..., \((k - 1)\)-ter Krümmung zuordnet. Die \(L_0\)-Abbildung ist dann die topologische, die \(L_1\)-Abbildung die längentreue Abbildung. Ist dann \[ x_i = \varphi_i (y_1, \ldots, y_l, \alpha), \, \overline{x}_i = \varphi_i (y_1 \ldots, y_l, 0) = \overline{x}_i(y_1, \ldots, y_l) \quad (i=1, 2, \ldots, n) \] eine stetige einparametrige Schar \(l\)-dimensionaler Hyperflächen im \(R_n\) und jede dieser auf die \(\overline{x}_i\) \(L_k\)-abbildbar, ohne zu \(\overline{x}_i\) kongruent zu sein, so ist \(x_i\) im \(R_n\) \(k\)-fach verbiegbar, andernfalls \(k\)-fach starr. Zur weiteren Terminologie vgl. \textit{C. Burstin, W.Mayer}; (1926; F.~d.~M. 52, 747), \textit{C. Burstin} (Recueil math. Moscou 37 (1930), 3-12; F.~d.~M. 56\(_{\text{I}}\), 620), \textit{M. Janet} (1927; F.~d.~M. 53, 699), \textit{É. Cartan} (1928; F.~d.~M. 54, 763) und \textit{K. H. Weise} (1934; JFM 60.0366.*).