Minkowskische Geometrie. I, II. (Q574300)

Der Satz \textit{Minkowski}s, daß in einem Raum mit \textit{Minkowski}scher Maßbestimmung Konvexität der Eichfläche und Gültigkeit der Dreiecksungleichung sich gegenseitig bedingen, wird nach einem einfachen Beweis detailliert, d. h. es werden die aus der Beschaffenheit einer Stelle der Eichfläche (ob konvex, nicht konkav, konkav) sich ergebenden Folgerungen für die Beschaffenheit des (\(n\)-dimensionalen) Raumes untersucht: Gültigkeit der Dreiecksungleichung in einer bestimmten Richtung, Existenz und Art geodätischer Bögen. Ist die Eichfläche konvex, so liegt jeder Punkt \(x\), für den \[ \varrho(ax) + \varrho(xb) = \varrho(ab), \] (Zwischenpunkt von \(a, b\), wobei \(\varrho\) die Abstandsfunktion ist) auf der Strecke \(ab\); ist sie nicht konkav, so liegt jeder Zwischenpunkt von \(a, b\) auf einem geodätischen Bogen \(ab\), d. h. für je drei aufeinanderfolgende Punkte \(c, d, e\) dieses Bogens ist \(d\) Zwischenpunkt von \(c\) und \(e\); ist der Raum \(n\)-dimensional, so gibt es mindestens \(n + 1\) Richtungen, so daß die Strecken in diesen Richtungen die einzigen geodätischen Bögen zwischen ihren Punkten sind.