Notes on differential geometry. (Q574303)

Die Arbeit bringt neue, einfache (rechnerische) Beweise für im wesentlichen bekannte Eigenschaften der Kurven und Flächen konstanter Breite (\S\ 1 und 2) sowie von \textit{Bertrand}kurven (\S\ 3). Es handelt sich unter anderm um folgende Sätze: I. Konvexe Kurven konstanter Breite sind identisch mit Konvexkurven: (a) von konstantem Durchmesser; (b) für welche Gegenpunkte auf der gleichen Normalen liegen (``Gegenpunkte'' \(=\) Kurvenpunkte mit parallelen Normalen); (c) für welche die Summe der Krümmungsradien in Gegenpunkten konstant ist. Der Beweis beruht wesentlich auf Differentialrelationen zwischen den begleitenden Vektorzweibeinen in Gegenpunkten. II. (a) Satz von \textit{Blaschke} (Kreis und Kugel (1916; F. d. M. 46, 1109 (JFM 46.1109.*)), S. 117-118), betreffend die Krümmung des Normalschnittes eines einer Fläche umschriebenen Zylinders; (b) die Krümmungsrichtungen einer konvexen Fläche konstanter Breite sind in Gegenpunkten parallel (Beweisgedanke entsprechend wie bei den Kurven); Gegenpunkte liegen auf der gleichen Normalen; die Summen entsprechender Hauptkrümmungsradien in Gegenpunkten sind konstant; (c) Satz von \textit{Minkowski}, betreffend das Oberflächenintegral über die mittlere Krümmung einer Fläche konstanter Breite (\textit{Minkowski}, Gesammelte Abhandlungen II (1911; F. d. M. 42, 23 (JFM 42.0023.*)-24), S. 277-279). III. Satz über \textit{Bertrand}kurven (vgl. z. B. \textit{Tajima}, 1920; F. d. M. 47, 676 (JFM 47.0676.*)). -Existenz und Stetigkeit der Krümmung usw. werden immer vorausgesetzt.