Sur les gradients et certaines de leurs indéterminations. (Q574366)

Für die ebene Kurvenschar \((x - \alpha)^2 + y^2 = 1\) werde in jedem Punkte der Ebene der (zweiwertige) Gradient der Funktion \(\alpha\) konstruiert. Man erhält dann den Gradienten der Funktion längs einer beliebigen Kurve, wenn man in jedem Kurvenpunkte den konstruierten Gradienten auf die Kurventangente projiziert. Für die beiden Geraden, welche die Enveloppe der Kurvenschar bilden, versagt diese Konstruktion: Der Gradient der Kurvenschar wird unendlich, während der Tangentialgradient endlich bleibt. Dies Verhalten wird dadurch anschaulich verständlich gemacht, daß der Gradient in einem Punkte der Ebene als Gefälle der Fläche \(\alpha = f(x,y)\) in dem entsprechenden Punkte gedeutet wird. Hierbei zeigt sich, daß die Komponente des Gradienten in Richtung der \(x\)-Achse konstant ist, die Komponente in Richtung der \(y\)-Achse aber für Punkte der Geraden \(y = \pm1\) unendlich wird. -Die Überlegung ist als Beispiel einer allgemeineren Untersuchung gedacht: Im Raume wird ein einparametriges Flächensystem von einer Fläche \(S\) geschnitten. Man erhält den Gradienten der auf \(S\) ausgeschnittenen Kurvenschar im allgemeinen durch Projektion des Gradienten der Flächenschar auf die Tangentialebene von \(S\). Die Konstruktion versagt für die Enveloppe der Flächenschar.