Sur la représentation géométrique des systèmes matériels non honomes. (Q574503)

Verf. unternimmt die Untersuchung eines geometrischen Schemas, das mit den mechanischen Eigenschaften eines anholonomen Systems invariant verknüpft ist. Dieser Forderung entspricht die bekannte geometrische Darstellung mit Hilfe einer \textit{anholonomen Mannigfaltigkeit} nicht völlig, insofern als -- von dem Fall der Holonomie abgesehen -- die geometrischen Eigenschaften kein adäquates Abbild der mechanischen sind. Das materielle System hänge von \(n\) Parametern \(q_a\) ab und sei von der Zeit unabhängigen Beschränkungen unterworfen, die durch \(n - m\) Gleichungen in von den \(q_a\) unabhängigen totalen Differentialen definiert werden; diese Gleichungen lassen keine integrable Kombination zu. In jedem Punkte des Raumes führe man ein lokales \(n\)-Bein ein, von dem \(m\) Achsen zu den Beschränkungen (d. h. zu dem ebenen \(m\)-dimensionalen Element, das durch die die Beschränkungen ausdrückenden Gleichungen erklärt ist) tangentiell und die übrigen \(p = n - m\) Achsen zu den Beschränkungen (d. h. zu dem soeben definierten \(m\)-dimensionalen Element) normal sind. Man bezeichnet mit \[ \omega _i, \omega_\alpha \;\;(i, j, h, k =1, 2 \ldots, m; \;\;\alpha, \beta, \lambda, \mu =m+1, \ldots, n) \] die \(m + p\) Komponenten einer infinitesimalen Verrückung des Ursprungs des \(n\)-Beins nach den \(m + p\) Achsen. Verf. bestimmt die Gruppe der linearen Transformationen der \(\omega_i, \omega _\alpha\), die die mechanischen Eigenschaften des anholonomen Systems nicht ändern. Die gegenüber dieser Gruppe invarianten Eigenschaften, und nur sie, sollen in Betracht gezogen werden. In der vorliegenden Arbeit beschränkt sich Verf. auf den besonderen Fall, in dem das \textit{abgeleitete System des Pfaff}schen Systems der die Beschränkungen ausdrückenden Gleichungen Null ist (vgl. \textit{É. Goursat}, Leçons sur le problème de Pfaff (1922; F. d. M. 48, 538 (JFM 48.0538.*)), p. 294). Dann sind die Gleichungen \(\omega_i= 0\) (und daher auch der Begriff der Verrückung ``normal zu den Beschränkungen'' oder der \textit{Weyl}sche Begriff der ``Einspannung'' der anholonomen \(V_n^m\) in eine \(V_n\)) mit den mechanischen Eigenschaften des Systems invariant verbunden (vgl. \textit{J. A. Schouten}, Proceedings Amsterdam 31 (1928), 291-299 (F. d. M. 54, 758 (JFM 54.0758.*)), insbesondere p. 293; ferner \textit{G. Vrǎnceanu}, Buletinul Cernauţi 5 (1931), 177-205; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 904). Unter jener Annahme zeigt Verf., daß sich für das mechanische System zwei auf der darstellenden geometrischen Mannigfaltigkeit natürlich bestimmte \textit{euklidische Zusammenhänge} von \(m\) und \(p\) Dimensionen und daher zwei Gesetze der Übertragung längs einer beliebigen Kurve der \(V_n\) für die zu den Beschränkungen tangentiellen bzw. für die dazu normalen Vektoren ergeben. Der erste Zusammenhang hat die Torsion Null für die zu den Beschränkungen tangentiellen (zweidimensionalen) Ebenen, der zweite hat die Torsion Null für die dazu normalen. Die Torsionen nach den andern Ebenen werden durch vier Tensoren \(\gamma_{k\lambda i}, s_{\lambda\mu i}\); \(c_{ij\alpha}, \delta_{k \lambda \alpha}\) ausgedrückt, die den folgenden Bedingungen genügen: \[ \begin{aligned} &\gamma _{k\lambda i}=\gamma_{i\lambda k}, \quad \delta _{k\lambda\alpha}= \delta _{k\alpha \lambda}, \quad s_{\lambda \mu i}=-s_{\mu\lambda i}, \quad c_{ij\alpha}=-c_{ji\alpha},\\ &\sum_{i,j}c^2_{ij\alpha}=1,\quad \sum_{i,j}c_{ij\alpha}c_{ij\beta} =0\quad (\alpha \neq \beta). \end{aligned} \] Verf. betrachtet näher den Fall \(\gamma _{k\lambda i}=0,\;s_{\lambda \mu i} = 0\) d. h. den Fall, in dem der erste Zusammenhang ohne Torsion ist, und gibt ein Beispiel, in dem man \(\gamma _{k\lambda i} = 0\), \(\delta_{k\lambda \alpha} =0\), hat: entsprechend dem mechanischen Problem der Bewegung einer homogenen Kugel, die auf einer festen Ebene rollt, ohne zu gleiten. (V 6 C.)