Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space. (Q574505)

Verf. wendet die Theorie des \textit{Hilbert}schen Raumes und seiner linearen Transformationen auf Fragen der klassischen \textit{Hamilton}schen Mechanik an. Die Untersuchung ist in der Folgezeit bei der Behandlung der Quasiergodenhypothese von großer Bedeutung geworden (vgl. \textit{J. v. Neumann}, Proceedings USA Academy 18 (1932), 70-82; \textit{E. Hopf}, Proceedings USA Academy 18 (1932), 96-100; F. d. M. 58; für die Zitate vgl. auch das folgende Referat). Mit \(\varPhi\) werde der Phasenraum eines mechanischen Systems bezeichnet. Wenn \(P(q_1, \ldots q_n, p_1,\ldots p_n)\) der allgemeine Punkt von \(\varPhi\) ist, so sei die sich aus den allgemeinen mechanischen Bewegungsgleichungen ergebende Strömung in \(\varPhi\) bezeichnet mit \(S_t: P\to P_t = S_tP\). \(S_t\) ist nach dem \textit{Liouville}schen Satz in dem Sinne maßtreu, daß jede im \textit{Lebesgue}schen Sinne meßbare Teilmenge von \(\varPhi\) durch \(S_t\) auf eine maßgleiche abgebildet wird. Ist \(\varOmega\) eine Integralfläche des mechanischen Systems (z. B. \(H (q, p) = C\)), die also gegenüber \(S_t\) invariant ist, so gibt es bekanntlich auf dieser Fläche ein Volumelement \(d\omega\) und eine Dichte \(\varrho = \varrho(P) > 0\) derart, daß \(S_t\) im Sinne des \textit{Lebesgue}schen Maßes \[ \mu (\varOmega _1)=\int\limits _{\varOmega_1} \varrho d\omega \] (\(\varOmega_1\) Teilmenge von \(\varOmega\)) in \(\varOmega\) maßtreu ist. Die \(S_t\) bilden in \(\varPhi\) (und auch in \(\varOmega\)) eine einparametrige Gruppe: \[ S_t(S_sP)=S_{t+s}P. \] Verf. betrachtet nun den \textit{Hilbert}schen Raum \(\mathfrak H\) aller meßbaren komplexwertigen Funktionen \(f(P)\) in \(\varOmega\) mit endlichem \(\int\limits_{\varOmega} |f(P)|^2 \varrho d\omega\), wobei das innere Produkt durch \(\int\limits_{\varOmega} f(P) \overline{g(P)} \varrho d\omega\) erklärt ist. Der Funktionaloperator \(U_t\): \[ f(P)\to f(S_tP)=U_tf(P)\tag{1} \] erweist sich als linear und unitär, und es gilt \(U_t U_s = U_{t+s}\). \(U_t\) erweist sich als stetig abhängig von \(t\). Sodann gibt es nach einem Satz von \textit{M. H. Stone} (Proceedings USA Academy 16 (1930), 172-175; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 357-358) einen hypermaximalen Operator \(A\) mit der Zerlegung der Einheit \(E(\lambda)\) derart, daß \[ (U_tf,g) = \int e^{it\lambda} d (E(\lambda)f,g)\tag{2} \] (\textit{Stieltjes}sches Integral) oder kurz \[ U_t=\int e^{it\lambda}dE(\lambda) = e^{itA}\tag{3} \] gilt. (Nach einem Satz von \textit{J. v. Neumann} würde auch die meßbare Abhängigkeit von \(U_t\) von \(t\) genügen.) Ist \(\varphi\) Eigenfunktion von \(U_t\) eines nichtintegrablen Systems, so gilt also \[ U_t\varphi =e^{i\lambda t}\varphi.\tag{4} \] Daraus folgt, daß \(|\varphi|\) fast überall konstant sein und die Form \(\varphi = e^{i\vartheta}\) haben muß, wo \(\vartheta\) bis auf Vielfache von \(2\pi\) fast überall definiert ist. Aus (4) folgt dann \[ U_t\vartheta =\vartheta + \lambda t\quad (\operatorname{mod} 2\pi), \tag{5} \] so daß \(\vartheta\) als ``Winkelvariable'' anzusprechen ist. Damit ein solches von Null verschiedenes \(\varphi\) existiert, muß das Maß von \(\varOmega\) endlich sein. (IV 7.)