Proof of the ergodic theorem. (Q574507)

\{Joint review of JFM JFM 58.1270.04 and the article under review.\} Der ``Ergodensatz'' besagt, daß die Bahnkurve, welche der den jeweiligen Zustand eines klassisch-mechanischen Systems repräsentierende ``Phasenraum''-Punkt auf Grund der mechanischen Bewegungsgleichungen beschreibt, die Energiefläche gleichmäßig überall dicht ausfüllt -- d. h. daß für jede physikalische Größe das ``Mittel'' über die (unendliche) Bahnkurve (``Zeitmittel'') existiert und dem Mittel über die (meist endliche) Energiefläche (``mikrokanonisches Mittel'') gleich ist. Natürlich nur, wenn die Energie das einzige (eindeutige) Integral der Bewegungsgleichungen ist, und nur ``im allgemeinen'', d. h. bis auf eine in einem noch zu präzisierenden Sinne unwesentliche Menge von Ausnahme-Bahnkurven. Diese rein mathematische Vermutung hat sonderbarerweise vierzig Jahre lang die Rolle einer physikalischen Hypothese gespielt, nachdem Boltzmann, Maxwell, H. Poincaré und \textit{P. Ehrenfest} und \textit{T. Ehrenfest} ihre grundlegende Bedeutung für die Begründung der gesamten statistischen Mechanik erkannt haben. (Vgl. 1912; JFM 43.0763.01); in der dort besprochenen Arbeit findet sich auch das ganze ältere Schrifttum über den Gegenstand.) Vor kurzem hat \textit{B. O. Koopman} [Proc. Natl. Acad. Sci. USA 17, 315--318 (1931)] eine operatorentheoretische Methode zur Untersuchung dynamischer Probleme entdeckt (vgl. das vorangehende Referat JFM 57.1010.02), mit deren Hilfe \textit{J. von Neumann} den ``Ergodensatz'' im Sinne der ``Mittelkonvergenz'' der als Bahnkurven-Funktionen angesehenen Zeitmittel zum mikrokanonischen Mittel bewiesen hat [``Proof of the quasi-ergodic hypothesis'', Proc. Natl. Acad. Sci. USA 18, 70--82 (1932; JFM 58.1271.03)], was der wahrscheinlichkeitstheoretisch-physikalischen Fragestellung genau entspricht. Unabhängig ist \textit{T. Carleman} zu denselben Resultaten gelangt [Acta Math. 59, 63--87 (1932; JFM 58.0417.01); Ark. Mat. B 22, No. 7, 5 p. (1932; JFM 58.0419.01)]. Durch die vorliegenden Arbeiten verschärft \textit{G. D. Birkhoff} diese Resultate, indem er die ``Mittelkonvergenz'' durch die wirkliche Konvergenz bis auf eine Menge vom Maße Null ersetzen kann, und zwar mit Hilfe einer neuen, bloß auf dem Lebesgueschen Integral beruhenden Methode. (Über den sachlichen und historischen Zusammenhang dieser Resultate sowie für eine Übersicht über die neuere Literatur des Problems, vgl. \textit{G. D. Birkhoff} und \textit{B. O. Koopman} [Recent contribution to the ergodic theory, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 18, 279--282 (1932; JFM 58.1271.02)]. Die Beweise sind von \textit{E. Hopf} [On the time average theorem in dynamics, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 18, 93--100 (1932; JFM 58.0838.01)] und \textit{A. Khintchine} [Zu Birkhoffs Lösung des Ergodenproblems, Math. Ann. 107, 485--488 (1932; JFM 58.1273.02), The method of spectral reduction in classical dynamics, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 19, 567--573 (1933; JFM 59.1481.04)] verschärft worden. Durch die vorliegenden Arbeiten ist die endgültige Formulierung und ihr Beweis gefunden. Dieser Beweis ist von verblüffender Einfachheit und Schönheit und ist unter anderm ein neuer Beleg dafür, welche ungewöhnliche Schlagkraft dem Lebesgueschen Integralbegriff immer noch innewohnt. Die Wichtigkeit der Birkhoffschen Methode, für die die mathematische Statistik und die Dynamik bestimmt noch viele Anwendungen abgeben werden, steht jener des vorliegenden Resultats um nichts nach. Es ist noch zu betonen, daß die allen diesen Untersuchungen zugrunde liegende Annahme der ``Nichtexistenz eindeutiger Integrale'' so zu verstehen ist, daß alle meßbaren Funktionen zur Konkurrenz zuzulassen sind. Dies erschwert den Nichtexistenznachweis für konkrete mechanische Systeme ganz wesentlich. Das statistische Verhalten dynamischer Systeme kann übrigens über den Ergodensatz hinaus untersucht werden; betr. dieser weiteren Eigenschaften vgl. \textit{B. O. Koopman} und \textit{J. v. Neumann} [Dynamical systems of continuous spectra, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 18, 255--263 (1932; JFM 58.1272.02)] und \textit{J. von Neumann} [Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik, Ann. Math. (2) 33, 587--642 (1932; JFM 58.1270.04)]. Diese Untersuchungen beruhen auf der operatorentheoretischen Methode, und es wäre von Interesse, auch diese der direkten Birkhoffschen Methode zugänglich zu machen.