Sur l'équation fondamentale de la balistique extérieure. (Q574626)

Die Bewegungsgleichungen des Geschoßschwerpunktes lauten \[ \begin{aligned} \dfrac{d^2x}{dt^2}&=-w\cos\vartheta \qquad=-\dfrac{w}{v}\,\dfrac{dx}{dt},\\\vspace{-6pt} & \tag{1}\\\vspace{-6pt} \dfrac{d^2z}{dt^2}&=-w\sin\vartheta-g =-\dfrac{w}{v}\,\dfrac{dz}{dt}-g \end{aligned} \] \(\Big(\)in der zweiten Gleichung (1) steht in der Arbeit \(\dfrac{v}{w}\) statt \(\dfrac{w}{v}\Big)\), wenn \(x\) die Abszisse und \(z\) die Ordinate der Flugbahn, \(v\) die Geschoßgeschwindigkeit und \(w\) den Luftwiderstand bezeichnet. Die Integration von (1) läuft auf die Integration einer Gleichung der Form \[ dz'=\left(\dfrac{z'}{x'}+\dfrac{g}{w}\,\dfrac{v}{x'}\right)\,dx' \tag{2} \] hinaus mit \[ z'=\dfrac{dz}{dt}=v\sin\vartheta \quad \text{ und } \quad x'=\dfrac{dx}{dt}=v\cos\vartheta, \] die gewöhnlich in der Form \[ g\,d(v \cos\vartheta)= wv\,d\vartheta \] (vgl. \textit{Cranz}, Lehrbuch der Ballistik I (1910; F. d. M. 41, 809 (JFM 41.0809.*)), S. 110, Hauptgleichung, erste Form) geschrieben wird. Verf. setzt \(x' = y\) und \(\text{tg}\,\vartheta = F\), also \[ w=cf(v)=cf(v\cos\vartheta \sqrt{1+\text{tg}^2\vartheta})=cf(y\sqrt{1+F^2}), \] und erhält (2) in der Form \[ \dfrac{dF}{\sqrt{1+F^2}}=\dfrac{g}{cf(y\sqrt{1+F^2})}\,\dfrac{dy}{y}. \tag{3} \] Die sehr allgemeine Annahme \[ f (v) = a_{-1}v^{-1}+a_0+a_1v+a_2v^2+\cdots+a_{n-1}v^{n-1} \] führt (3) über in \[ \begin{gathered} \dfrac{d(v\cos\vartheta)}{d\text{tg}\,\vartheta}=\dfrac{dy}{dF}=f_0+f_1y+f_2y^2+\cdots+ f_ny^n, \tag{3\('\)}\\ f_{\lambda}=\dfrac{c}{g}a_{\lambda-1}(\sqrt{1+F^2})^{\lambda-2}. \end{gathered} \] Für \(n = 3\) reduziert sich (3\('\)) nach Untersuchungen von \textit{Appell} (Journ. de Math. (4) 5 (1889), 361-423 (F. d. M. 21, 312 (JFM 21.0312.*)-314), insbesondere p. 370) auf die kanonische Form \[ \dfrac{dY}{dX}=Y^3+I(X), \] worin \(I(X)\) die absolute Invariante der Gleichung (3\('\)) ist, die nur von den \(f_{\lambda}\) und ihren ersten Ableitungen nach \(F\) abhängt. Verf. weist darauf hin, daß die Luftwiderstandsfunktionen, die den bekannten französischen Methoden zur Lösung der Hauptgleichung zugrunde liegen, nur Sonderformen der hier benutzten Funktionen darstellen: Methode von \textit{Gâvre}: \(f(v~) =bv^2\); Methode von \textit{Dufrénois-Rousier}: \(f (v) = f(v_0) + a (v -v_0)\); Methode G. H. M. (in der Arbeit steht M. G. N., was wohl ein Druckfehler ist): \(f (v) = \text{const}\) (vgl. \textit{Dufrénois-Risser-Rousier}, Les méthodes actuelles de la balistique extérieure, p. 65).