Ein neues Verfahren zur Berechnung der Drehschwingungszahlen von Kurbelwellen. (Q574867)

Der Verf. gibt ein neues Verfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen (resonanzgefährlichen Frequenzen) der Torsionsschwingungen von Kurbelwellen, dessen Vorteil ändern Verfahren gegenüber darin liegt, alle Frequenzen (nicht nur die niedrigste) mit großer Genauigkeit und auf einmal zu liefern. Besonders einfach wird das Verfahren, wenn es sich um eine Maschine mit vielen gleichen Drehmassen (Zylindern) und Wellenstücken handelt (``homogene'' Maschine), die dann noch um Zusatzmassen erweitert sein kann. Die Frequenzengleichung einer Welle mit \(n+1\) Drehmassen \((\theta_0,\ldots,\theta_n)\) und \(n\) Wellenstücken von der Länge \(l_k\) und der Steifigkeit \(C_k\) wird in der Form \(f_n (z)= 0\) geschrieben; \(z\) bedeutet das Quadrat der Kreisfrequenz. Für die ``Frequenzfunktionen'' \(f_k(z)\) gilt die Rekursionsformel \[ f_k(z)=(z-c_k-c_k')f_{k-1}-c_kc_{k-1}'f_{k-2} \] mit \(f_0 =1\) und \(f_{-1} = 0\); die Koeffizienten der Wellenstücke \(c_k\) und \(c_k'\) sind \[ c_k=\frac{C_k}{l_k\theta_{k-1}}\;\;\text{und} \;\;c_k'=\frac{C_k}{l_k'\theta_k}. \] Aus den Frequenzfunktionen \(f_k\) werden für die homogene Maschine, wo \(\theta_0= \theta_1=\cdots=\theta_n=\theta\) und \(c_0 = c_k = c_k' = c_n' = c\) (\(k = 1, 2,\ldots, n\)) ist, ``reduzierte Frequenzfunktionen'' \(\varphi_k\) gebildet: \[ \varphi_k=\frac{f_k}{c^k}. \] Die Funktionen \(\varphi_1\) bis \(\varphi_{12}\) werden als Funktionen des Arguments \(\zeta=\dfrac zc\) im (allein in Betracht kommenden) Bereich von \(\zeta=0\) bis \(\zeta=4\) in Tabellen und Diagrammen wiedergegeben. \(\varphi_k\) ist eine algebraische Funktion \(k\)-ten Grades in \(\zeta\) und hat \(k\) Nullstellen \(\zeta_i\), aus denen die Eigenfrequenzen \(\alpha_i\) sich nach \[ \alpha_i=\frac1{2\pi}\sqrt{c\zeta_i} \] ergeben. -- Die Funktionen \(\varphi_k\) sind symmetrisch oder schiefsymmetrisch zum Punkte \(\zeta= 2\), je nachdem ob \(k\) gerade oder ungerade ist. Die reduzierte Frequenzfunktion \(\varphi_{n+1}'\) einer Maschine mit homogenem Kern und einer Zusatzdrehmasse läßt sich auf die (tabulierten) Frequenzfunktionen \(\varphi\) der homogenen Maschine mit Hilfe der Rekursionsformel zurückführen; die Frequenzgleichung lautet dann: \[ \varphi_{n+1}'\equiv\left(\zeta\frac{c_{n+1}}c-\frac{c_{n+1}'}c\right)\varphi_n -\frac{c_{n+1}}c\varphi_{n-1}=0. \] Ihre Wurzeln werden am besten auf graphischem Wege ermittelt. In ähnlicher Weise werden auch für zwei Zusatzmassen (auf einer oder zwei Seiten der Maschine) die Frequenzfunktionen auf die tabulierten zurückgeführt.