Die Krümmung der isobaren Flächen im Ozean. (Q575126)

Die Krümmung der isobaren Flächen hängt von dem zweiten Differentialquotienten des Drucks nach den Raumkoordinaten ab und muß somit durch die Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes bestimmbar sein. Verf. geht aus von der hydrodynamischen Bewegungsgleichung in der Form \[ \frac{\partial \mathfrak b}{\partial t}+2\overline{\omega }\times\mathfrak v=\;\text{grad}\,\varPhi -\frac{1}{\varrho }\,\text{grad}\;p+\frac{2}{\varrho }\,\frac{\partial ^2\mathfrak v}{dz^2}. \] Aus ihr folgt durch Bildung der Divergenz bei Annahme konstanter Dichte (div \(\mathfrak v=0\)): \[ S=\;\text{div}\,2\overline{\omega }\times\mathfrak v= \varDelta \varPhi -\frac{1}{\varrho }\varDelta p. \] Verf. transformiert die hier auftretenden Ausdrücke \(\varDelta \varPhi \) und \(\varDelta p\) auf krummlinige Koordinaten derart, daß die Niveauflächen der Schwere bzw. des Drucks und je zwei Paar hierzu und untereinander senkrechter Ebenen zu Koordinatenflächen \[ x_\varPhi ^k=\;\text{const},\quad x_p^k=\;\text{const} \] werden. Die bei der Transformation auftretenden \textit{Christoffel}schen Dreiindices-Symbole zweiter Art \(\varGamma _{rs}^1\) hängen mit den Krümmungen der Äquipotentialflächen zusammen durch die Beziehung \[ k_\varPhi =\frac{1}{2}\, \biggl(\frac{1}{r_{\text{max}}}+\frac{1}{r_{\text{min}}}\biggr)= -\frac{1}{2}\varGamma _{rs}^1\mu ^{rs},\quad \mu _t^{ik} \begin{cases} \!\!=0\;\;\text{für}\;\;\,i\not=k,\\ \!\!=1\;\;\text{für}\;\;\,i=k,\end{cases} \] wo \(k_\varPhi \) die mittlere Krümmung der Äquipotentialfläche ist. Ein analoger Ausdruck gilt für \(k_p\), und es ergibt sich durch Einführung der \(k\) in den Wert von \(S\) nach etlichen Vereinfachungen \[ k_p-k_\varPhi =\frac{1}{2g}\,\biggl(S-\frac{\partial }{\partial x_{ p}^{ 1}}\,[2\overline{\omega }\times\mathfrak v]_{x_{ p}^{ 1}}\biggr). \] Untersucht man an Hand dieses Ausdrucks das Verhalten der Äquipotential- und der isobaren Flächen zueinander, so ergibt sich: Bei zyklonaler (antizyklonaler) horizontaler Zirkulation sind die isobaren Flächen schwächer (stärker) gekrümmt als die Äquipotentialflächen. Beide Flächensysteme haben gleiche Krümmung, wenn die Geschwindigkeit sich aus einem Potential ableiten läßt, oder im Zustand der Ruhe. (VIII 1.)