Stetige Funktionen in topologischen Räumen. (Q575570)

Eine stetige Funktion \(\alpha\) in einem topologischen Raum \(\mathfrak T\) (d. h. eine stetige Abbildung von \(\mathfrak T\) auf einen topologischen Raum \(\mathfrak T^{*}\)) wird, wenn der Bildraum \(\mathfrak T^*\) ``von minimaler Dichte'' ist, durch die von ihr erzeugte Einteilung des Raumes \(\mathfrak T\) in Kongruenzklassen bis auf topologische Abbildungen eindeutig bestimmt. Ist \(\alpha\) eine in \(\mathfrak T\) stetige Funktion, so heißt die in \(\mathfrak T\) offene Menge \(\mathfrak D\) ein \(\alpha\)-Diskontinuitätsbereich, wenn \(\alpha\) auf \(\mathfrak D\) topologisch und der Bildraum \(\alpha( \mathfrak T )\) die abgeschlossene Hülle des Bildbereichs \(\alpha( \mathfrak D )\) ist. Dann und nur dann ist jeder Punkt von \(\mathfrak T\) in einem \(\alpha\)-Diskontinuitätsbereich enthalten, wenn die Funktion \(\alpha\) im Kleinen topologisch ist. Die Überdeckungszahl (d. h. die kleinste Zahl offener punktfremder Mengen, auf denen \(\alpha\) topologisch ist, die ausreicht, um \( \mathfrak T \) bis auf eine nirgends dichte Menge zu überdecken) und die Blätterzahl (d. h. die obere Grenze der Mächtigkeiten der einzelnen Kongruenzklassen) sind gleich, wenn eine der beiden Zahlen endlich und \(\alpha\) im Kleinen topologisch ist; wenn die beiden Zahlen unendlich sind, kommt an Stelle der Gleichheit eine Ungleichung. Hierbei wird der \textit{Zermelo}sche Wohlordnungssatz wesentlich benutzt. Endlich werden die durch eine stetige Funktion \(\alpha\) definierte Kongruenzrelation und die Äquivalenzrelation, die durch eine Gruppe \(T\) topologischer Abbildungen von \(\mathfrak T\) auf sich erzeugt wird, miteinander in Beziehung gebracht; dabei unterscheidet man zulässige Funktionen, automorphe Funktionen; schließlich, im Falle, daß Kongruenzklassen und Äquivalenzklassen zusammenfallen und die Funktion '' im Kleinen topologisch ist, kommt man zum Begriff der diskontinuierlichen Gruppe. Ist \( \mathfrak T \) kompakt und im Kleinen zusammenhängend, so ist jede diskontinuierliche Gruppe topologischer Abbildungen von \(\mathfrak T\) auf sich endlich.