On quasi-metric spaces. (Q575584)

Ein quasimetrischer Raum \(Z\) ist ein Raum, in dem eine Entfernung definiert ist, die allen Axiomen mit Ausnahme des Axioms \(xy = y x\) genügt ; das Dreiecksaxiom wird in der Form \(xz \leqq xy + yz\) angenommen. Infolgedessen treten verschiedene Limites auf: Ist \(A = \{x_i\}\) eine Punktfolge in \(Z\), so heißt \(a\) ein \(u\)-Limes bzw. \(l\)-Limes von \(A\), wenn es zu jedem \(r > 0\) ein \(i^\prime\) gibt, so daß für \(i > i^\prime\) \(ax_i < r\) bzw. \(x_i a < r\) ist; \(a\) heißt ein \(c\)-Limes, wenn ein \(i^\prime\) existiert, so daß für \(i > i^\prime\) beide Forderungen erfüllt sind. Im ersten Teil der Arbeit werden die Eigenschaften dieser Limites untersucht; z. B. kann eine Folge im allgemeinen mehrere Quasilimites (\(u\)- bzw. \(l\)-Limites) haben, und das \textit{Cauchy}sche Konvergenzkriterium gilt im allgemeinen nicht. Ist \(a\) aber \(u\)- und \(l\)-limes einer Folge, so ist \(a\) ihr einziger Limes jeder Art, und das \textit{Cauchy}sche Kriterium gilt. Die abgeschlossenen Mengen und die Gebiete zerfallen entsprechend in je drei Arten, die untereinander in gewissen Beziehungen stehen, und jeder einzelne Typ verhält sich gegenüber Summen- und Durchschnittsbildung genau so, wie in einem gewöhnlichen metrischen Raum. Ferner gilt ein Analogon zum Trennungssatz der metrischen Räume. Im zweiten Teil werden die Beziehungen zwischen quasimetrischen, metrischen und topologischen Räumen untersucht; insbesondere werden die Axiome aufgestellt, die ein topologischer Raum erfüllen muß, um quasimetrisch zu sein, sowie die Axiome, die in einem quasimetrischen Raum gelten, wenn man die \(u\)- und \(l\)-Kugeln um einen Punkt \(x\) mit rationalen Radien als Umgebungen definiert.