Sur la dimension de l'espace et l'extension des fonctions continues. (Q575652)

Verf. beweist die folgende Verallgemeinerung eines von ihm (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 506) veröffentlichten Satzes: Notwendig und hinreichend dafür, daß ein metrischer separabler Raum \(E\) von höchstens \(n\)-ter Dimension ist, ist, daß zu jeder abgeschlossenen Menge \(P\subset E\) und jeder auf dieser Menge definierten reellen stetigen Funktion \(f(p)\) eine im ganzen Raum \(E\) definierte und in allen Punkten von \(E\) mit Ausnahme der Punkte einer Menge von höchstens \((n- 1)\)-ter Dimension stetige Funktion \(\varPhi(p)\) existiert, so daß (1) \(\qquad \qquad \varPhi(p) = f(p)\)\ \ für \ \ \(p \in P\), \ \ und (2) \(\qquad \qquad \varPhi(E) = f(P)\) \newline ist. Dabei wird mit \(g(Z)\) die Menge der Werte der Funktion \(g(p)\), wo \(p \in Z\), bezeichnet. Ferner wird folgender Satz bewiesen: Es sei \(E\) ein separabler metrischer Raum von höchstens \(n\)-ter Dimension, \(P \subset E\) eine abgeschlossene Menge, \(f(p)\) eine reelle stetige Funktion, die auf \(P\) definiert ist. Dann gibt es zwei Funktionen, die von oben halbstetige Funktion \(\varPhi_1(p)\) und die von unten halbstetige Funktion \(\varPhi_2 (p)\), welche (auf \(E\)) in jedem Punkte von \(P\) stetig sind, die Beziehungen (1) und (2) erfüllen und die Eigenschaft haben, daß die Menge der Unstetigkeitspunkte einer jeden von ihnen höchstens \((n-1)\)-dimensional ist. \ \ (IV 3 C.)